転生したらオイラーだった件？ 〜俺が数式を残さないとスマホもロケットも生まれないので、18世紀で人類の宿題を全部片付けます〜

第六部：ベルリン関数

第56話 指数と対数の鏡

関数名簿が仮採用された翌朝、ベルリンの空は薄く晴れていた。

窓にかけた布を通して、乾いた光が机の上へ落ちる。

白すぎない紙、太い線、大きな字。カタリナが整えた仕事部屋は、もう旅先の仮住まいではなく、ベルリンで数学を残すための小さな工房になりつつあった。

壁には関数の対応図が掛けられている。入口、道、出口。規則A、規則B。fとg。消えかけた記号たちは、説明と図と例に囲まれて、ようやく落ち着いた顔をしていた。

その机の中央に、今日は二つの表が置かれていた。

一つは、数が増えていく表。

一、二、四、八、十六、三十二。

もう一つは、その増え方を戻る表。

一なら零。二なら一。四なら二。八なら三。十六なら四。

リーデルはそれを見て、困ったように眉を寄せていた。

「オイラー先生、これは数の階段ですか」

「はい、階段と言ってもよいです」

「こちらは上る表で、こちらは下りる表？」

「かなり近いです」

「かなり」

彼はすぐに言い直した。

「近いのですね」

カタリナが、小さく笑った。

「リーデル様も、その言い方を気になさるようになりましたね」

「この家では、言葉がすぐ記録されますので」

「よい心がけです」

リーデルは、少し誇らしげに背筋を伸ばした。

そこへモーペルテュイが来た。

ベルリン・アカデミーの長は、朝の光を背にして部屋へ入ると、机の上の二つの表を一目で見た。表情にわずかな興味が浮かぶ。

彼は宮廷人の服を着ていても、紙を見る時だけは学者の顔になる。

「指数と対数ですね」

「はい」

俺は答えた。

「関数の具体例として扱います」

「増やす規則と、戻る規則」

モーペルテュイは表を指した。

「これは、よい入口です。関数がただの抽象語ではないと示せる」

カタリナは机の横に鏡を置いた。小さな手鏡だ。銀の縁に、旅の途中でついた細い傷がある。彼女はその前に、増える表と戻る表を向かい合わせた。

「指数が進む道なら、対数は戻る道ですか」

「そうです」

「では、鏡のように描けるかもしれません」

彼女は紙に、左から右へ進む矢印を描いた。二を何度も掛けていく道。次に、右から左へ戻る矢印を描く。その数が、二を何回掛けたものかを数える道。

「こちらが進む道。こちらが帰る道」

リーデルがその図を見て、目を輝かせる。

「これはわかります。行きの規則と、帰りの規則です」

「逆対応です」

エリザならそう言うだろう、と思った瞬間、机の端に置いていた封書が目に入った。

茶色の封蝋。

サンクトペテルブルクからの赤線書簡。

まだ開けていなかった。ベルリンへ来てから、エリザの手紙は時折、こちらの議論より先に席に着いているような気がする。

カタリナが封を切った。

赤字が現れる。

『戻る規則が常に存在するとは限りません。逆対応が成立する条件を明示しなさい』

リーデルが息を呑んだ。

「また、先に」

「はい」

俺は苦笑した。

「遠くからでも先に刺してきます」

モーペルテュイは楽しげに赤字を見た。

「このベルヌーイ嬢は、一度お会いしたいものです」

「会うと、かなり刺されますよ」

「良い批評家は、少し痛いものです」

カタリナが赤字を大きく写し、鏡の図の下に添えた。

戻る規則には、条件がある。

「たとえば」

俺は言った。

「二を何回掛けたか、という道では、二、四、八、十六、それぞれに戻る数が決まります。二なら一回。四なら二回。八なら三回」

リーデルが頷く。

「では、三は？」

「二を何回か掛けて、ぴったり三にはなりません」

「それでも戻れますか」

「厳密に広げれば考えられますが、入口としては、まず二の冪の列で見るのが安全です」

モーペルテュイが言った。

「つまり、帰り道を作るには、まず行き道がどの範囲を通るのかを知らねばならない」

「はい」

「関数の道には、通る場所と通らない場所がある」

「その通りです」

リーデルが慌てて記録した。

通る場所。

通らない場所。

帰り道の条件。

カタリナは鏡の図へ、薄い灰色の部分を描き足した。行きの道が届かない場所。そこには、帰り道がまだ描かれていない。

「こちらは、まだ鏡に映っていない場所ですね」

「良い図です」

俺は頷いた。

モーペルテュイも見入っている。

「オイラー夫人の図は、数学の礼儀を知っていますね。見せすぎず、隠しすぎない」

カタリナは少し驚いたように瞬いた。

「ありがとうございます。父の工房では、影を描きすぎると形が潰れると言われました」

「数学も同じです」

モーペルテュイは静かに言った。

「影を扱う学問ですから」

その時、鏡の図がかすかに白く光った。

カタリナがすぐに紙を押さえる。

「校閲者です。戻る矢印を狙っています」

指数の道から対数の道へ戻る矢印が、白く抜け始めていた。進む矢印は残っている。帰る矢印だけが消えていく。

リーデルの顔が青ざめる。

「帰り道を消している」

「指数と対数の逆対応を切りに来ています」

俺は言った。

モーペルテュイが机へ身を寄せた。

「行き道だけが残れば、増える表はただの増加です。戻る道があるから、計算の道具になる」

「はい」

俺は羽ペンを取った。

『指数は、数を掛け重ねて進む道』

『対数は、その道を何歩進んだかを戻す道』

白化は少し止まった。

だが、戻る矢印はまだ薄い。

カタリナが、鏡の図だけでなく、表を読み上げた。

「一は零歩。二は一歩。四は二歩。八は三歩。十六は四歩」

リーデルが続ける。

「同じ行き道に対して、戻る歩数は一つ」

モーペルテュイが言った。

「増える数と、歩数の対応」

俺は書き足す。

『同じ到達点には、同じ歩数』

エリザの書簡の赤字が、まるで満足したように見えた。

戻る矢印が、少し濃くなる。

その時、窓の外で馬車が通り過ぎ、乾いた石畳を叩く音がした。

ベルリンの街は、こちらの議論など知らずに動いている。だが、その音もまた、進む道と戻る道を持っているように思えた。

車輪の回転、距離、速度、時間。運動も、関数として見れば道になる。

リーデルがふと尋ねた。

「先生、指数と対数は、王の宮廷にも説明できますか」

「どうでしょう」

「進む道と帰る道なら、陛下にも通じるかもしれません。軍なら、行軍と帰還。音楽なら、主題と変奏。宮廷なら、命令と報告」

モーペルテュイが笑った。

「リーデル君、君はベルリンの書記らしくなってきたね」

「褒め言葉でしょうか」

「半分は」

「残り半分は」

「危険です。宮廷の比喩は、すぐ政治になる」

その言葉で、俺はアンナやヴォルコフを思い出した。

数が政治に使われる危険は、ロシアに置いてきたわけではない。ベルリンにも別の形である。

フリードリヒの宮廷は、言葉と機知を愛する。だからこそ、数学の比喩もすぐ飾りとして奪われるだろう。

「比喩には注記をつけます」

カタリナが言った。

「進む道、戻る道。これは理解のための絵であり、正式には指数関数と対数関数の逆対応、と」

「完璧にエリザ化している」

俺が言うと、カタリナは少し困ったように笑った。

「良いところは、学びたいです」

「ええ、非常に良いと思います」

モーペルテュイが言った。

「ベルリンには、こうした記録作法も必要になりそうですね」

その時、机の上に置いていた関数名簿が黒く滲んだ。

規則名、指数。

規則名、対数。

その間に書いた逆対応という語が、薄くなる。

校閲者は、今度は矢印だけでなく、名簿の接続語を狙ってきた。

リーデルがすぐに反応した。

「関数名簿の対応欄です。指数と対数を互いに結ぶ欄が消えています」

「声で読んで防ぎます」

カタリナが言った。

「指数、進む規則。対数、戻る規則。互いに逆の対応」

リーデルが写す。

「名簿欄、逆対応。補助説明、行き道と帰り道」

モーペルテュイが証言する。

「この対応を、私は見ました」

俺も書く。

『指数と対数は、同じ道を反対から見る関数である』

逆対応の文字が、完全ではないが止まった。

関数名簿に、二つの規則が並んだ。

指数。対数。

行き道。帰り道。

鏡。

その配置が残ると、部屋の空気が少し和らいだ。リーデルは額の汗を拭い、カタリナは図の端を整えた。モーペルテュイは、しばらく鏡の図を眺めていた。

「オイラー殿」

「はい」

「関数という考えは、危険なほど便利です」

「わかっています」

「個々の表を越えて、規則そのものを扱える。指数と対数を、ただの数表ではなく、互いに向き合う関数として見る。これは、解析の地図に大きな道を一本引くことになる」

「はい」

「その道は、やがて円にも届くでしょう」

円。

その言葉に、胸の奥が小さく反応した。

バーゼル問題。

円周と直径の比。

あの時、πの印は危うかった。孤立していたからだ。

だが、今もなお、円は俺の数学の中心に潜んでいる。

「円は、また後です」

俺は言った。

「今は、指数と対数を固めます」

「よろしい。焦らない方がよい」

モーペルテュイは立ち上がった。

「しかし、ベルリンは焦らせます。陛下も、サロンも、成果を急がせる。お気をつけなさい」

そう言って彼は帰っていった。

夕方、リーデルも名簿を持ってアカデミーへ戻った。仕事部屋には、俺とカタリナだけが残る。窓の外は薄暗く、鏡の表面に蝋燭の火が映っていた。

カタリナは鏡の図をしまう前に、俺を見た。

「右目は、お疲れではありませんか」

「少し」

「では、今日はここまでです」

「あと一行だけ」

「その一行は、明日も逃げません」

「最近、厳しくなりましたね」

「必要ですので」

彼女は静かに笑った。

俺は、鏡に映る自分の顔を見た。右目のあたりは、光が滲んでぼやけている。左目はまだはっきりしている。鏡の中の俺は、どこか知らない数学者のようだった。

行き道と帰り道。

指数と対数。

見える目と、見えにくい目。

進んだものが、同じ道を戻れるとは限らない。

けれど、戻る道を定義できるなら、世界は少し広くなる。

机の上で、エリザの書簡の最後の赤字が目に入った。

『戻る規則がある時、それは贈り物です。乱用しないこと』

俺は笑った。

遠くからでも、彼女は最後まで釘を刺してくる。

それでも、その赤字があるかぎり、サンクトペテルブルクへの帰り道も、まだ完全には消えていない気がした。