転生したらオイラーだった件？ 〜俺が数式を残さないとスマホもロケットも生まれないので、18世紀で人類の宿題を全部片付けます〜

第六部：ベルリン関数

第54話 関数とは何か

関数という語は、ベルリンの机の上に置かれたばかりの小さな橋だった。

その橋はまだ細い。渡るための欄干もなく、足元の板も頼りない。

だが、一度そこに置かれると、机の上の紙束が急に違って見えた。

無限級数、運動表、素数棚、円の図、指数の覚書。

ばらばらに積まれていたものが、何か一つの道へ向かって並び始める。

右目で見れば紙の端は白く溶けるのに、その中心にある関数という語だけは、左目と頭の奥で黒く残った。

モーペルテュイの部屋から戻った後、俺たちは新居の仕事部屋で、関数の定義を机に広げていた。

ベルリンの乾いた光は朝から強く、カタリナは窓に薄い布をかけてくれた。布を通した光は少し柔らかくなり、紙の白さが右目に刺さらなくなる。

机には大判紙、通常写し、リーデルの記録板、エリザの赤線書簡が並んでいた。

カタリナは、関数のための図を描いていた。

左に、入口。

右に、出口。

その間に、道。

入口には数。出口にも数。道には、規則、と書かれている。

「これで、よろしいでしょうか」

「かなり良いです」

「かなり、ですね」

「良いです」

「では、残します」

彼女は柔らかく笑い、図の下に大きく書いた。

ある数を入れる。規則を通る。別の数が出る。

リーデルがそれを覗き込み、目を輝かせた。

「これは、私にもわかります。入口と出口ですね」

「そうです」

俺は頷いた。

「たとえば、ある数を入れると、その二乗を返す規則があります。二を入れれば四。三を入れれば九。四を入れれば十六」

リーデルはすぐに書類板へ書いた。

「数を入れる。規則が働く。数が返る。なるほど。では、関数とは計算機のようなものですか」

「計算機というより、計算の規則そのものです」

「規則そのものに名前をつける」

「はい」

彼は少し考え込んだ。

「ベルリンでは、役職に名前がつくと扱いやすくなります。侍従、書記、顧問官、音楽家。名前があると呼び出せる。関数も、そういうものですか」

「似ています」

カタリナが言った。

「名前がないと、紙の上で持ち運びにくいのです」

リーデルは感心したように頷いた。

「では、関数は数の役職名ですね」

「その比喩は、面白いですが危険ですね」

俺が言うより先に、机の上のエリザの書簡が目に入った。封はもう切ってある。赤字の追伸が、こちらを睨んでいる。

『同じ入力に複数の出力を許すな。同じ入口から二つの出口が出るなら、それは規則ではなく混乱です』

まるで、この会話を予測していたようだった。

「エリザなら、今の比喩に赤線を入れますね」

カタリナが言った。

「確実に」

リーデルは少し緊張した顔をした。

「遠くのベルヌーイ嬢は、私の比喩にも赤線を？」

「もちろん」

「恐ろしい方ですね」

「有能な方です」

カタリナが柔らかく訂正した。

「恐ろしいほど」

俺は大判紙に例を書いた。

『規則A。

入れた数を二乗する。

一を入れると一。

二を入れると四。

三を入れると九。

四を入れると十六。』

リーデルはそれを見て、指で追う。

「これはわかります。同じ数を入れたら、同じ数が出る」

「そこが大事です」

「もし、二を入れた時に四が出たり五が出たりしたら？」

「その規則は壊れています」

カタリナが、図の道を二股に分けた。

入口、二。

出口、四。

もう一つの出口、五。

「こうなると、道が二つに割れてしまいますね」

「はい」

「これは関数ではない？」

「少なくとも、今ここで定義した関数ではありません」

リーデルが頷いた。

「同じ入口には、同じ出口。覚えます」

その瞬間、二股の図が黒く滲んだ。

カタリナの手が止まる。

「校閲者です」

図の入口、二の横から、黒い線が二本伸び始めた。一本は四へ。もう一本は五へ。カタリナが例として描いた二股が、冗談や誤例ではなく、正しい図のように濃くなっていく。

リーデルの顔が青ざめた。

「私が変なことを聞いたからですか」

「違います」

俺は言った。

「そこが狙われる急所だからです」

エリザの書簡が、机の上でかすかに震えた。

赤字の追伸が、少しだけ濃く見える。

『同じ入力に複数の出力を許すな』

「対応を固定します」

俺は羽ペンを取った。

関数とは、同じ入力に対し、同じ出力を定める規則である。

カタリナがすぐに大字で清書する。

リーデルが通常記録に写す。

「同じ入力、同じ出力」

彼は声に出して読んだ。

「関数とは、道が枝分かれしない規則」

「比喩としては有効です」

俺は言った。

「ただし、正式文は残します」

「もちろんです。ベルヌーイ嬢に刺されたくありません」

リーデルが震えて言う。

「刺される前提なのですね」

「はい」

少しだけ笑いが生まれた。

黒い二股線は、そこで揺らいだ。四へ向かう線は残る。五へ向かう線は薄くなる。だが、完全には消えない。

カタリナが、二股の誤図を別紙へ写した。

「誤対応として保管します。入口二に対して、出口四と五が同時に出る図。関数定義に反するもの」

「はい。そうしてください」

俺は頷いた。

「消すより、誤りとして残した方が強い」

リーデルは、そのやり方をじっと見ていた。

「あなた方は、誤りも捨てないのですね」

「捨てると、また別の場所へ出ます」

カタリナが答えた。

「誤りには、誤りとしての箱が必要です」

「箱」

「はい。サンクトペテルブルクから続けている方法です」

リーデルは、少しだけ背筋を伸ばした。

「では、ベルリンにもその箱を作ります。誤対応記録箱」

「名前が少し直截的ですね」

「グゼル、いえ、オイラー夫人の具体名に倣いました」

カタリナは嬉しそうに微笑んだ。

「ありがとうございます」

俺はリーデルの言い直しに気づいた。グゼル夫人と言いかけて、オイラー夫人へ直した。細かいが、書記として大事なことだ。

「リーデル」

「はい」

「その言い直しも記録に残す必要はありませんよ」

「いえ、私の中で残します。ベルリンでは呼称も政治ですので」

彼は真面目に答えた。

「オイラー夫人は、オイラー先生の記録者であり、旧姓グゼルの工房で紙を見てこられた方。どちらの名も必要な時がある、と理解しました」

カタリナが少し驚いた顔をする。

「ありがとうございます」

リーデルは頭を下げた。

「こちらこそ。私はまだ、あなた方の記録作法を学んでいるところですから」

その時、玄関から手紙が届いた。

ベルリンの配達人ではない。アカデミー経由で回された、遠い紙の匂いがする封書だった。封蝋は茶色。エリザのものだ。

「またですか」

リーデルが小さく呟く。

「赤線は速いものです」

カタリナが封を切り、俺へ渡した。

中には短い赤字があった。

『関数を定義したら、例を三つ置きなさい。二乗、倍加、定数。定数関数を忘れると、規則を「変化」に限定する誤解が生じます』

俺は目を閉じた。

遠くからでも完璧に刺してくる。

「定数？」

リーデルが聞いた。

「入れる数が何であっても、同じ数を返す規則です」

「同じ入口に同じ出口、どころか、どの入口にも同じ出口ですか」

「はい」

彼は目を瞬いた。

「それでも関数なのですか」

「関数です。何も変えないという規則も、規則です」

カタリナが新しい図を描いた。

入口、一、二、三、四。

すべて同じ出口、五へ向かう。

「これは、道が全部同じ広場へ向かうようなものですね」

「良い比喩です」

俺は言った。

「変化しないから無意味ではない。一定の値を返す規則も、関数です」

リーデルは感心したように言った。

「つまり、関数は変化そのものではなく、対応なのですね」

その言葉に、胸が少し熱くなった。

「そうです」

俺は大きく書いた。

『関数は変化だけではない。対応である』

校閲者の黒い二股線が、また薄くなった。

今度はかなり弱い。

エリザの遠隔赤線が効いた。

カタリナが、三つの例を並べた。

二乗する規則。

二倍する規則。

いつも五を返す規則。

リーデルがそれぞれに番号を振り、通常記録へ写した。

「この三つがあれば、ベルリンの書記たちにも説明できます」

「書記たちに？」

「はい。正直に申し上げると、陛下やサロンの方々より、まず書記が理解しないと記録が乱れます。美しい説明より、間違えにくい説明が必要なんです」

「あなた、もう、かなりこちら側の人ですね」

俺は関心して言った。

リーデルは困ったように笑った。

「昨日までは宮廷側のつもりでした」

「戻れますか」

「たぶん、もう難しいです」

その言葉と同時に、机の上の関数定義の紙が白く光った。

今度は、関数という語そのものではない。

規則という語の一部が、薄くなり始めていた。

カタリナが声を上げる。

「規則の文字です」

俺はすぐに言った。

「対応、と書き足します」

エリザの書簡にも、その語があった。

対応。

俺は大きく書く。

『関数とは、数と数の対応である』

リーデルが続ける。

「入口と出口の対応」

カタリナが描く。

「道と広場の対応」

俺は書く。

「同じ入口には、同じ出口」

白化が止まる。

規則の文字は薄いが、対応の文字が黒く残った。

「用語を一つに絞るべきですか」

リーデルが聞く。

「いずれは」

俺は答えた。

「でも今は、規則と対応の両方で支えます。片方が狙われても、もう片方で戻せるように」

カタリナが頷く。

「言葉の二重記録ですね」

「はい」

リーデルが目録へ書く。

関数。規則。対応。入口。出口。

「これで、かなり見えてきました」

彼は言った。

「数を直接見るのではなく、数から数への道を見る。関数は、その道の名前」

俺は右目を少し開いた。

紙の右側は、相変わらず白い。

だが、カタリナの太い図なら見える。

入口。

道。

出口。

個々の点は滲む。

しかし、道の形は見える。

「片目で見る世界は狭い」

俺は呟いた。

カタリナがこちらを見る。

「でも、関数で見れば、数は互いに道を持つ」

その言葉を、彼女はすぐに書いた。

リーデルも、息を呑むように写した。

ベルリンでの最初の定義は、まだ危うい。

だが、数と数を結ぶ橋は、確かに紙の上に架かり始めていた。