転生したらオイラーだった件？ 〜俺が数式を残さないとスマホもロケットも生まれないので、18世紀で人類の宿題を全部片付けます〜

第五部：右目の曇りと素数の影

第44話 足し算の奥の積

足し算の列の向こうで、素数が影を伸ばしていた。

一、二、三、四、五。

どこまでも続く整数の列。その逆数、その二乗の逆数、その三乗の逆数。紙の上では、ただ小さな分数が並んでいるだけに見える。だが、右目の白い滲みを閉じ、左目だけで見直すと、その列の底に別の骨格があるように感じた。

二。三。五。七。十一。

素数たちは、整数の列のあちこちに隠れている。見えているのは足し算だ。けれど、その足し算を作る整数たちは、素数の積にほどける。ならば、無限に続く和の奥にも、素数の影があるはずだ。

部屋には、夜の冷気と紙の匂いがあった。

カタリナが机の上に三種類の紙を並べている。白い素数表。黄色い合成数表。薄灰色の単位表。さらに、その横に無限級数の覚書。

紙の色が違うことで、右目が滲んでも役割が見分けられる。彼女の工夫は、もう俺の思考の一部になり始めていた。

「足し算の奥に、骨があるのですか」

カタリナが静かに聞いた。

「あるはずです」

俺は答えた。

「すべての整数が素数からできているなら、すべての整数を並べた和にも、素数の痕跡がある」

エリザはすぐに赤い羽ペンを取った。

「痕跡、という語は不十分です。接続を示してください。足し算の列が、なぜ掛け算の形へ移るのか。そこを曖昧にすれば崩壊します」

「まだ入口です」

「入口ほど危険です」

彼女の言葉は冷たい。だが、正しい。無限と円をつないだ時も、危うい類推に何度も赤線を入れられた。今度は、足し算と掛け算をつなごうとしている。危険でないはずがなかった。

アレクセイは、黒パンをかじりながら素数表を見ていた。

「足し算が掛け算になるってのは、見せ方を間違えると詐欺だな」

「詐欺じゃない。数学だよ」

「わかってる。だが、聞いた瞬間はそう聞こえる。そこを何とかしろ」

「的確ですね」

「褒めるな。気味悪い」

カタリナが、合成数表から十二の分解図を取った。

「整数が素数へほどけるなら、級数の一つ一つの項にも、素数の骨が入っているということでしょうか」

「そうです」

「では、箱ではなく、棚にしてみます。箱が増えると、少し見分けにくいので」

彼女は新しい紙に、横長の棚を描いた。

二の棚。

三の棚。

五の棚。

七の棚。

それぞれの棚には、小さな札が並んでいる。

使わない。

一回使う。

二回使う。

三回使う。

カタリナは、二の棚の札を指した。

「この棚の中は、選べる札を全部並べるのですね」

「はい」

俺は頷いた。

「二の棚なら、二を使わない項、二を一回使う項、二を二回使う項、二を三回使う項。それらを全部並べる」

エリザの羽ペンが止まった。

「並べる、では不十分です。棚の中は、足し算ですか」

「はい」

「では、棚と棚の間は？」

「掛け算です」

アレクセイが黒パンを置いた。

「つまり、あれか。左の括りから一つ、右の括りから一つ選んで掛けるやつか」

「そうです」

「たとえば、二つの和と二つの和を掛けると、四通り出る。左から一つ、右から一つ。全部掛けて足す。（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd。あれと同じか」

「そう、それです」

エリザが短く頷いた。

「有効です。既知の分配法則として説明できます。ただし、無限個へ拡張する危険は明記してください」

「さっそく赤線ですか」

「当然です。有限の分配と無限の分配を同一視してはいけません。そこが危険域です」

カタリナは、棚の横に大きく書いた。

棚の中は和。

棚と棚の間は積。

右目でも読める、太い文字だった。

アレクセイがそれを見て言った。

「これならまだわかる。棚の中で足す。棚同士を掛ける。で、開くと選び方が全部出る」

「はい」

俺は頷いた。

「そして、その選び方が、整数の素数分解に対応する」

「具体例を出せ」

アレクセイが言った。

「今すぐだ。ここで抽象のまま行くと、たぶん人類の半分が寝る」

「半分？」

「俺を含む」

「自分で言うんですか」

「正直だろ」

エリザが冷たく言う。

「具体例は必要です。十二でやってみましょう」

カタリナが、紙の中央に大きく書いた。

十二。

「十二は、二を二回、三を一回使います。五以降の素数は使いません」

俺は言った。

カタリナは二の棚から、二回使う札を選んだ。

三の棚から、一回使う札を選んだ。

五の棚から、使わない札を選んだ。

七の棚からも、使わない札を選んだ。

「逆冪で見るなら」

俺は慎重に続けた。

「二の棚からは、二を二回使う重み。三の棚からは、三を一回使う重み。他の棚からは、一を選ぶ」

アレクセイが紙に書いた。

「二を二回なら、四分の一。三を一回なら、三分の一。あとは一。掛けると十二分の一」

「ただし、今は普通の逆数で見た場合です」

エリザが補足する。

「二乗の逆数、三乗の逆数など、冪を変えるなら、全体の指数をそろえて扱う必要があります。ここは入口として許容します」

「珍しく許した」

「入口として、です」

俺は頷いた。

「こうして、十二分の一にあたる項が一度だけ現れます。十二の素数の骨が、一通りだからです」

カタリナが、十二の図の下に書く。

二を二回。

三を一回。

他は使わない。

だから十二。

そして、逆数なら十二分の一。

彼女は少し考えてから、棚の下にもう一行加えた。

数え漏れなし。

重複なし。

エリザの声が少し低くなる。

「ここで一意分解が効きます」

アレクセイが眉を上げた。

「そんなに大事か」

「核心です」

エリザは断定した。

「整数が素数の骨を一通りにしか持たないから、棚を広げても同じ整数の項が二度現れません。もし十二が別の骨を持てるなら、十二分の一は二度現れます。もし骨を持たない整数があるなら、その項は漏れます」

「だから、数え漏れなし、重複なし、か」

「はい」

俺は言った。

「それがあるから、足し算の列と、素数の棚の展開が対応する」

アレクセイは腕を組み、しばらく黙った。

「分かりかけると、気持ち悪いな」

「なぜです」

「足し算だと思ってたものの裏側で、掛け算が歯車みたいに回ってる感じがする」

「よい感覚です」

エリザが言った。

「気持ち悪い、は論文語ではありませんが」

「お前は何でも論文にするな」

カタリナが小さく笑い、棚図の線を少し太くした。

「では、この棚を正式な比喩にしてよろしいでしょうか」

エリザが即座に赤を入れる。

「棚で統一しましょう。他の比喩を並走させると、記号系が混乱します」

「はい。棚で統一します」

「ただし、棚は比喩です。正式文には、各素数について選択肢を足し、それらを掛ける、と併記します」

「はい」

アレクセイがぼやく。

「棚にも注記がついた」

「比喩は便利ですが、野放しにすると暴れます」

エリザは涼しい顔だった。

俺は無限級数の覚書を引き寄せた。そこには、ただ整数の逆数を足す列だけでなく、逆二乗、逆三乗も並んでいる。右目では小さな分母が滲む。カタリナがそれに気づき、すぐに大判写しを横へ出した。

「こちらをどうぞ。分母を大きく書いています」

「ありがとうございます」

「整数そのものを足すと、どうなるのですか」

カタリナが聞いた。

「果てしなく大きくなります」

俺は答えた。

「だから、整数そのものではなく、整数の冪の逆数に重みをつけます。大きな数ほど小さく扱う。そうしなければ、和は暴れます」

エリザが頷いた。

「収束のための重みですね。明記してください」

アレクセイが言った。

「要するに、でかい荷ほど軽く見積もる札をつけるわけか」

「違いますが、入口としては近いです」

「また入口かよ」

「入口が多い数学なので」

カタリナは、棚の札に新しい記号を書き足した。二を使わない札には一。二を一回使う札には二の冪の逆数。二を二回使う札には二を二回使った冪の逆数。三の棚も同じ。五の棚も同じ。

棚の中は和。

棚と棚の間は積。

展開すると、素数の使い方がすべて出る。

そして、その一つ一つが、整数の逆冪に対応する。

エリザが赤い線を引いた。

「これで飛躍が小さくなりました。まだ完全ではありません。しかし、比喩としては機能しています」

「褒めましたか」

「評価です」

「褒めてはいない？」

「必要なら褒めます。今は不要です」

アレクセイが笑った。

その瞬間、無限級数の覚書が白く光った。

足し算の列。

その横に描かれた素数棚。

その二つをつなぐ線が、白く抜け始める。

「接続です」

カタリナが言った。

「足し算と棚の間が消えています」

校閲者は、まさにそこを狙ってきた。

足し算の和と、素数の棚の積。

その接続を切ろうとしている。

エリザが赤い羽ペンを構えた。

「接続命題を言語化してください」

「各整数は、素数の使い方の一通りに対応する」

俺は言った。

「一通り、という語を残します」

エリザが書く。

『素数の使い方が一つ決まれば、整数が一つ決まる。整数が一つ決まれば、素数の使い方も一つ決まる』

アレクセイが続ける。

「数え漏れなし。重複なし」

カタリナが、その二語を太く書き直す。

右目でも読める文字だった。

白化は少し止まった。

だが、完全には止まらない。足し算と棚の間の線は、まだ薄い。

「式が必要です」

エリザが言った。

「わかっています」

俺は羽ペンを取った。現代なら、ゼータ関数と素数にわたる積を一行で書ける。だが、ここでは慎重に進む。記号そのものが時代から浮けば、校閲者が狙う。だから、最初は言葉で書く。

素数を調べるために無限級数・無限積という解析の道具が使えることを、やがて「オイラー積」と呼ばれリーマン予想にもつながるアイデアを、後世に伝えるために。

『すべての整数の逆冪を足す和は、各素数について、その素数を何回使うかをすべて足した棚を作り、それらの棚を全素数にわたって掛け合わせたものとして見られる。』

長い。

だが、必要な段差は入った。

棚の中は和。

棚と棚の間は積。

アレクセイが顔をしかめた。

「長い。読んでる間に飯が冷める」

「もう少し短くしますか？」

エリザが言う。

「短くしすぎると危険です」

「では中間を探します」

カタリナが、棚の図の上に題をつけた。

『素数棚』

「この言葉はどうでしょう？　素数棚の中身は和。素数棚どうしは積。そう説明を添えます」

「良いです」

俺は頷いた。

「素数棚」

エリザが補足する。

「ただし、棚は比喩。正式文には、各素数に対応する級数因子、と注記」

「また硬い」

「硬い部分が骨です」

「それ、気に入ってます？」

「有効なので」

足し算と棚の接続線は、そこで少し濃さを取り戻した。

白化は完全に止まったわけではない。だが、線は消えていない。

「見えてきましたね」

カタリナが言った。

「はい」

俺は素数棚の図を見た。

素数ごとの棚。

棚の中では、その素数を使う回数を全部足す。

棚同士を掛けると、使い方の組み合わせがすべて出る。

その組み合わせが、整数の逆冪を一つずつ作る。

胸の奥で、何かが開く感じがした。

無限と円がつながった時とは違う。あれは空に穴が開くような驚きだった。今は、地面の下に隠れていた骨格を掘り当てるような感覚だ。世界が上へ広がるのではなく、下へ深くなる。

その時、紙の端に黒い文字が浮かんだ。

【和を積へ移すな】

校閲者の声だった。

エリザが低く言う。

「やはり、ここが禁所なので」

「禁所？」

アレクセイが聞く。

「校閲者が最も嫌がる接続点です」

カタリナは素数棚の図を胸に抱えた。

「棚の中の足し算と、棚の間の掛け算が、つながるところ」

俺は黒い文字を見た。

【和を積へ移すな】

校閲者は、この接続を禁じたい。

なら、ここに価値がある。

俺は羽ペンを取った。

『Post additionem latet productum numerorum primorum. （足し算の奥には、素数の積がある）』

黒い文字が揺れた。

エリザがすぐに赤を入れる。

「積という語は、次で狙われます。備えてください」

「わかっています」

「本当に？」

「……今回は、危ないほどに」

アレクセイが低く笑った。

「少しは学習したな」

カタリナが新しい紙を出す。

「では、積を消されてもよいように、素数棚の図を増やします」

その言葉の通り、次の瞬間、積という文字が白く光り始めた。

やはり来た。

足し算の奥の積。

その積そのものが、消されようとしていた。