9.賢者の洞窟再び04
賢者の部屋は散らかっている。少し片付けただけでホコリが出てくるのだ。そのホコリを吹き飛ばそうと、下手に風を起こしたせいでかえって悠がホコリまみれになった。
「ニアは大丈夫そうだな」
ひどい目にあった悠に対して、風を起こしたニアの方は平然としているので、悠は気になって声をかけた。
「だって、私は風の中心に居ましたもの」
やはり、平然とニアは答える。ニアは全くもってホコリを被っていない。羨ましい限りだ。
「そうだよな、中心にいるニアの周りは空気が動いてないものな……」
「そうですね」
「動いていない……。まるで不動点だな」
「不動点？」
「そうだ、ある場所にあった空気が一定時間後に他の場所に移るのを(部屋の一地点)→(部屋の一地点)の関数とみなせるだろ？で、時間が経っても空気が動いてないところは同じ点への写像(恒等写像)になっている。こういう点を不動点っていうんだ」
「動かない点、そのままですね」
「ああ、わかりやすい名前だろ？」
「ええ」
「あっ、良いこと思いついたぞ！」
何か思いついたのか、悠が突然手を打って叫んだ。悠がこうやって叫ぶことはよくあったので、ニアは慣れた様子で軽く受け流す。
「なんでしょう？」
「不動点定理だ！」
「さっき言ってた不動点に関する定理ですか？」
「そのとおり、正確にはブラウワーの不動点定理の系だけどな」
「系？と、いいますと？」
「定理から簡単に導き出される有用な結果だ」
系という字からも分かるように、系とは定理に付随する結果である。定理さえ認めれば大体明らかだが、有用な結果なのでわざわざ系として書き出されているものである。
「ふーん、そうですか」
「なんだ、興味ないのか？」
「いえ、そんなまさか。ただあんまり語っていると夕ご飯を作る時間が無くなりますよ」
「それは困るなぁ……。でも、すぐ説明するから大丈夫。まず、不動点定理だけどな、これは非常に素晴らしい定理なんだ。なんと、コンパクト凸集合の自己同型写像は不動点を持つんだ！」
「えっ、どういうことでしょう？こん、ぱくと？」
「あ、あぁ。悪い。用語の説明をして無かったな。うーん、ちゃんと説明すると時間がかかってしまうのだけど、どうしよう」
「夕ご飯を犠牲にしたくなければ、大体でいいです」
「お、おう。分かった。じゃあ、簡単に言うとコンパクトが円板とか球とかみたいに外側に境界がちゃんとついてて、そんなに大きくないものだ。まぁ、大体いま目につくものはコンパクトだろうな。で、凸は言葉通り凹んでないものだ」
「逆にコンパクト凸でないものってそんなにあります？」
「コンパクトでないのは、現実世界にはなかなか無いけど、数学だと沢山あるんだ。簡単なものだと実数全体。どこまでも大きいだろ？凸でないものはドーナツだってそうだろ？真ん中に穴が空いて凹んでる」
「それで、そのコンパクト凸に今までの話はどんな関係があるんですか？」
「まぁ、話をもう少し聞けば分かるよ。系って言っただろ？この定理から分かるように、円板(S^2)上に内向きベクトル場があった時不動点が存在するんだ」
「内向きベクトル場？」
「難しいことはおいておくと、今回なら風の流れがちょうどベクトル場になってる。それが内向きっていうのは、風は部屋と外の境界では、中に流れ込んでいるもしくは端に沿って流れているってことだ」
「そうですか」
「で、不動点があるって事はそこで上昇気流または下降気流が起きてるのさ！」
言い切ったとばかりに、悠は得意そうな顔をしている。が、ニアには全く悠が得意に
「どういうことでしょう？」
「入り口以外は、部屋と外の境界は壁になってるから壁に沿って風が吹く。入り口さえ内向きの風にすれば、上昇気流か下降気流ができるのさ」
「その上昇気流か下降気流はどこに出来るんですか」
「この部屋にちょうど煙突があるだろう。そこに向けて上昇気流が自然にできるはずだ」
「入り口の内向きの風はどうするんですか」
「ニアが、頑張って風を起こしてくれ！」
悠は、それだけ言うと満足したようにうなずいた。一方ニアは何か気になることがあったのか、しばらく考え込んでいたが考えがまとまったようで悠に疑問を投げかけた。
「ねぇ、ユウさん」
「なんだ？」
「いろいろ難しいこと言ってましたけど、結局は部屋に外から空気を入れたら、そこではない出入り口から空気は出ていくって事ですよね」
「まあ、そうだな」
「当たり前じゃないですか！」
「その当たり前が、理論によって正当化されたのさ！」
「あー、時間の無駄でした。正当化するのは構いませんがご自身で時間のあるときにどうぞ。急いでいるときはまず実践してみるのも大切なんですよ。さあ、巻き込まれたくなかったら、さっさと外に出て」
「はい……」
そう言って、ニアは悠を外に追い出した。そして悠への怒りを込めて外から部屋に強風を送り込んだため、ものの数分で部屋は清浄な空気を取り戻した。
「ふぅ、キレイになりました」
「ほらっ、俺の行ったとおりだろ？理論は大切だ！不動点定理の大切さをもう少し説明しよう！」
「えっ、まだ面倒なことを言うのでしたら、ホコリと一緒に吹き飛ばしますよ。私、誰かのために夕ご飯を作るので忙しいんです」
「ごめんなさい」
