9.賢者の洞窟再び02
気が付いたら悠はニアと一緒に賢者の部屋を片付けることになっていた。面倒だったので逃げようとしたのだが、ニアにつかまってしまった。
「ユウさん、数学者なら片付けは得意ですよね！」
「えっ、うーん、どうだろう？」
「だって、いつも数学者って分類してるじゃないですか！」
「あー、確かに……」
「数をみて、2で割り切れるかで偶数と奇数を分けたり、自然数、整数、有理数、実数、挙げ句の果てには虚数なんて色々な名前をつけて分けてみたりして！」
「うん、そういえば、そういうこともやるなぁ。ところでニアはどうしてそんなに詳しいんだ？」
「ユウさんが道中ずっと話してたじゃないですか……。いやでも覚えますよ」
「あれ？俺、そんなにいつも言ってた？」
「自覚ないんですか……？」
「悪い悪い、普通の会話しかしてないつもりだったんだけど」
数学科の環境に毒されて思わず数学の言葉が口から出てくるようだ。数学科だと、日常会話にしれっと数学の言葉を使っても誰も気にしないから。といっても、二つで一組の何か(セットになったスプーンとフォークとか)を見て一方をもう片方の双対って呼んでしまうくらいだ。まさか、女子に向かって「君は素数のように気高く美しい」なんて言って引かれたわけではない、ええ、決して。
「まぁ、私の知らない世界の話を聞けるので、面白いって言えば面白いんですけど」
「あぁ、それならいいんだが」
「ユウさん、それよりこの山を要るものと要らないものに分けてくれません？」
「この山って、結構あるぞ……」
「そうですね」
ニアが指さした山は悠の身長よりも高い。部屋の壁に沿って積み上げられているからなんとか安定を保っているが、少しでも触ったら崩れてきそうである。あんな山片付けてたら日が暮れる。見なかった事にしたい。
「なあ、ニア。知ってるかい？数学者にも分けられないものってあるんだぞ？」
「急にどうしたんですか？」
「すべての素数の積ってどうなると思う？偶数？それとも奇数？」
「素数ってのは、自分自身と1以外で割り切れない数ですよね」
「ああ、そうだ。2、3、5、7、11、……と無限個ある」
「それを掛け続けるんですか？」
「そうなるな。ちなみに無限個になる証明だけど、もし素数が有限個と仮定すると、最大の素数Nが存在するはずだ。で、2からNまで素数全てをかけた数をN'とおく。するとN'+1は2からNでは割り切れない。つまりN'の約数はNより大きくなるから、Nの最大性に矛盾と言う訳だ」
「うーん。無限個になるのはよく分かりましたが、それを掛けたらどうなるのか想像もつかないです」
「だろ？そういうことだ」
「と、いいますと？」
「数学者にもすべての素数の積の偶奇なんて判定できないのさ！」
「ふざけてるんですか……」
「いや、違う。すべての素数の積は無限だ。無限は偶数とも奇数とも言えないんだ」
実際、偶数とも奇数とも言おうと思えば言える。
もっともらしく、偶数であると主張するなら、すべての素数の積には2も掛けられている。2を掛けたなら2で割れる、つまり偶数であるというもの。一方奇数であると主張するなら、
2×3×5×7×11×13×…
=1×3×5×7×11×13×…+1×3×5×7×11×13×…
=1×3×5×7×11×13×…+1×2×5×7×11×13×…+1×1×5×7×11×13×…
=1×3×5×7×11×13×…+1×2×5×7×11×13×…+1×1×4×7×11×13×…+
1×1×1×6×11×13×…+…
=(奇数)+(偶数)+(偶数)+(偶数)+…+(偶数)+…
と式変形をすると、奇数に偶数を無限個足した数とみなせることを利用すれば良い。
偶数であるとも奇数であるとも主張出来てしまうのが、無限の恐ろしさである。
ちなみにすべての素数の積は4π^2っていう人もいるがこれは正確には間違いである。(無限級数展開した)方程式に、その方程式が本来は成り立たない所の値を無理やり入れたら、すべての素数の積が4π^2になったという話なので、もちろん正しくない。
一通り説明し終えた悠はおもむろに立ち上がる。
「つまりな、俺にも分けられないものがあるんだ！」
そう一言言い放つと、悠は外に向けて全力で走り出した。
「あっ！逃げた！」
全ての素数の積って、しばらく前に某ゲームで話題になりましたよね……。
