証明と論文

ルジャンドル予想の最終証明と検証

任意の素数p、全ての自然数kに対する集合を

f(p)={p^k | k∈ℕ}

と定義する

また、2以上の自然数n以下のすべての素数集合Pnに対し

F(Pn)={p^k | p∈Pn,k∈ℕ}

とする

異なる素数p1,p2と自然数k1,k2に対して、

p1^k1=p2^k2となるのはp1=p2かつk1=k2の場合のみであるから

f(p1)=f(p2)となるのはp1=p2の場合のみである

このことを、f(p)はpに対し完全ユニークであると呼ぶこととする

同様に

F(Pn)はPnに対し完全ユニークであると呼ぶこととする

F(Pn)<n+1

の場合

G(Pn)={(n+1)n+x | x∈F(Pn)}

とすると

G(Pn)はPnに対して完全ユニークである

F(Pn)は最小の素数が2であることから、

(n+1)n+1 < G(Pn) < (n+1)^2

G(Pn)はPnに対して完全ユニークであるから

G(Pn)がPnのいずれかの倍数である場合、(n+1)n+1はPnのいずれの倍数でもないから素数である

(n+1)n+1がPnのいずれかの倍数の場合、G(Pn)にはPnのいずれの倍数でもない数を含み、それは素数である

同様に

G(Pn)={(n+1)n-x | x∈F(Pn)}

とした場合も、

G(Pn)はPnに対して完全ユニークであるから

G(Pn)がPnのいずれかの倍数である場合、(n+1)n-1はPnのいずれの倍数でもないから素数である

(n+1)n-1がPnのいずれかの倍数の場合、G(Pn)にはPnのいずれの倍数でもない数を含み、それは素数である

よって、オッパーマンの予想は正しい

結果、

ルジャンドル予想とアンドリカの予想も正しい

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オーバーフローしない範囲で、プログラムにより1000まで正しいことは確認した