ルジャンドル予想8（総まとめ）
エラトステネスの篩を適用した数学的表現の証明法
任意の素数p、全ての自然数kに対する集合を
F(p)={p^k | k∈ℕ}
と定義する
また、2以上の自然数n以下のすべての素数集合Pnに対するF(p)の集合を
F(Pn)
とする
異なる素数p1,p2と自然数k1,k2に対して、
p1^k1=p2^k2となるのはp1=p2かつk1=k2の場合のみであるから
F(p1)=F(p2)となるのはp1=p2の場合のみである
このことを、F(p)はpに対し完全ユニークであると呼ぶこととする
任意の素数p、全ての自然数mに対する集合を
F'(p)={p×m | m∈ℕ}
とすると
集合Pnに対するF'(p)の集合
F'(Pn)はF(Pn)をすべて含んでいる
F(p)はpに対し完全ユニークであるからF'(p)は、他の素数の倍数とならない要素を1つ以上必ず含んでいる
このことをpに対しユニークな要素を持つと呼ぶこととする
また、Pnのどの要素においても、同様な性質を持つ
このことをPnに対しユニークな要素を持つと呼ぶこととする
任意の素数pに対して
G'(p)={(n+1)n+x | x∈F'(p)}
G'(Pn)={(n+1)n+x | x∈F'(Pn)}
ただし、
G'(Pn)<(n+1)^2
F'(Pn)<n+1
とする
F'(Pn)は最小の素数が2であることから、2からnのすべての自然数を含んでいるので、
G'(Pn)は(n+1)n+2から(n+1)^2-1の全ての自然数を含む
よって
G'(Pn)の要素の種類=n-1
F'(Pn)およびG'(Pn)はPnに対してユニークな要素を持つ
F'(p)にG'(p)が含まれるのは、pが(n+1)nの素因数である場合だけである
これはどのようなnに対しても、２を含め２つ以上ある
以上の特徴を踏まえて、Pnの要素に対して、G'(p)をF'(p)に置き換えていく関数について考える
Z(Pn,Qn)={x | x∈G'(Pn-Qn) または x∈F'(Qn)}
Pn-QnはPnからQnの要素を除いた集合とする
例えばp=3のG'(3)をF'(3)に置き換えてしまうと、G'(3)のいづれかの要素が抜けてしまう
それを別のpで補うと、こんどは、そのどれかが抜けてしまう
このように、F'(Pn)とG'(Pn)には(n+1)n+1から(n+1)^2-1の範囲でPnに対してユニークな要素を持つため
Z(Pn,Qn)の要素の種類<n
であり、どのようなQnの組み合わせでも、(n+1)n+1から(n+1)^2-1の間のn個の全ての自然数をZ(Pn,Qn)に含めることはできない
Pn=Qnの場合は、Z(Pn,Pn)=F'(Pn)となり、F'(Pn)のうちm=1の場合だけが素数であるが
(n+1)n+1から(n+1)^2-1の間において、m=1になる要素は存在しないので、
この間のZ(Pn,Pn)に含まれない自然数は素数である
これは(n+1)n+2から(n+1)^2がすべて合成数と仮定した場合、(n+1)n+1は素数となり
(n+1)n+1が合成数なら(n+1)n+2から(n+1)n+nの間に素数が必ずあるということである
訂正
×合同数
○合成数
集合の記述を訂正
数学の表現てまわりくどい
