6月12日 「神がかりの数学解法」
最近テスト週間であんまり日記出せなかったことに反省しつつ、土日を挟むので少しリラックスできそうだなと考えて金曜日の今、日記を書こうと考える。いまからはなすのは、興奮中の僕の数学のテストにおける小話ですよ。
【問題】
kは2以上の自然数とする。1からkまでの自然数1,2.…・・・・、nの各数を1
つずつ書いたn枚のカードが入った箱がある。この箱から同時に2枚のカードを取り出して、そのうち大きい方の数をkとする。
（1）1≤k≤nである自然数に対してx＝kとなる確率を求めよ。
（2）(1)の期待値と分散を求めよ
【説明の方法１】
マジで神がかってた。この問題さ、俺初めてテスト受けてる時に見たんや。
ワークはさ、昨日の放課後はずっと遊んでて、今日の朝4時に起きて40題一気に解いて、なんとかワークの提出は間に合わせたんだけど、この問題は先週の地理の時間に内職で解いてたやつで、解法も何もかも忘れてたんや。
で、結局俺はコンビネーションも思いつかず。サイコロみたいに考えて解こうとして具体例でn＝5の時を考えたりして検算すると間違ってて。
まず確率のところを俺はk -1/nー1にしてて。で、これ、k -1/n(n -1)か？ってなって、それで期待値求めたけど5代入した時におかしくなって。
で、もう5代入した値とイコールにしないとまず絶対間違ってるよなって思って、たまたま、分散の方も期待値の方も2倍にすればn＝5の時と合わさるって気づいて2(k -1)/n(n -1)ってして合わせてさっきまで求めてた分散も組み直したんだけど後2分くらいになって。
n＝3もやろうってかんがえて、そしたら計算ミスだったんだけどその時は本心で期待値が7/3になって、意味不明で、叫びそうになって、でももうじゃあどうすればいいんやぁああああってなってそのまま果てたら、終了のチャイムがなって、答案提出して、目を鬼のように見開いてワークの答え探してたら問題も同じ文章だったぽくて、答え見たら最後に俺が調整した答えといっしょで叫びそうになるくらいガッツポーズしたのではなく、本当は、驚きすぎて戸惑ったっていう。
この前地理でずっと内職してたら急に小テストするって言われて一問一答だったんだけど先生が口頭で問題を出すっていうやつで、インドかなんかの農業の制度でなんか忘れたけどそういうなにかを言ってたんだけど、それで俺が考えて、
(農業においての制度か。。。栽培を強いる制度。うーん。内職してたから全くわからんなぁ。強制栽培制度にでもするか。。。)
「えぇぇえええ？？？？正解？？？」
っていう。あってた。っていう。そんなこともあったんだけど、今回の数学は少し時間経ってからやばかったなと思っています。
まあ普通に勉強不足だったことを反省です。はは。でもまぁ、勉強不足だったから諦める、ではなくてちゃんと向き合って勉強不足なりの解き方をして正解しようとしたのは悪くないのかなと。
【説明の方法２】
コンビネーションおもいつかず、全体が何通りか考えようとせず、サイコロの表みたいに縦と横で考えて、、二つ選ぶ問題だからそれで解けた。で、一般式求めようとして、kを最初に選ぶことに確率はないと考えてて、で、じゃあk抜いた後にkが選ばれるには
全体n -1のうち1〜kの値を選んだ時でこいつはk−２だな。っていうので最初解いてた実は。1を除外してた。それに気づいて、kー1にした。でもおかしかった。もう具体例と全く違うかったから諦めてた。
でも確率のところが間違えてるよなって思った。期待値も分散も求めてから代入しておかしいことに気づいたのだけれど、最初はどこが間違ってるか分からなかったから期待値求める式も分散求める式も見直してた。なんか期待値の式はnの二次式になってて、期待値でn超えるはずがないから、n割って一次式にしないといけないよな。
nで割りたいなって思ってて、確率の方に目を向けて、これnで割れないかって思って。最初にkを選ぶのって1/nじゃないん？って気づいて、nで一回してみたらいけそうになって。でも答えは具体例と合わなくて。ずっと考え込んで。最初問題これを解き始めた時はあと35分くらいあったんだけど、もう10分ほどしかなくて。叫びそうになって。お腹も減り出して。
で、一回息を吸って吐いて。でもては少し震えていて焦点は合っていなくて、いわば簡易的な極限状態で。で、どうせ間違えるなら、具体例とそもそも違う状態で解き終わらせるより少しの希望が欲しいって思って。期待値の一般式と分散の一般式と具体例のn＝5のときの期待値と分散を見て。目を上下させて見て。で、気づくんや。これ、2分の１じゃないか？って。
一回そうしてみる。もう時間もなかったからそのまま確率の式の訂正だけでなくもう一回分散も期待値も求め直す。あと5分。別の具体例で試してみようと考える。これでいけたらまじでいけるぞって。回答は回収されるから、この時はワークにこの問題があるかどうかすら知らなかったから確かめたかった。この一般式が。
n＝3で考えて見た。焦りすぎていて、2になるときを2/3で、3になるときを1/3にしてた。逆だった。だから期待値は俺は具体例で出すと7/3だった。でも一般式は2をかけてる。2の倍数になるはず。一般式でとくと8/3。おかしい。でも焦りすぎていて四回ほど再思考しても間違いに気づかない。そして時間は終わり、俺は顔を仰いで、広い試験場の天井をこの瞳は捉えた。問題文からは解放された。けれど解けきれなかった辛さが心に深くハマっていた。
答案を提出した。勢いよく願いながらワークを引っ張り出した。答えを見た。同じだった。
その時俺は。
「何を間違えた？」と思った。途中式を見た。コンビネーションを使っていた。nC 2。だから2が現れる。簡単な話だった。だから俺はなぜ間違えた？とおもったのかもしれない。そして思い出す。合っていたのならなぜn＝3は間違っていたのかと。提出してもう手元にないあの回答用紙の隅に殴り書きした表を思い出す。「あぁ。確率が反対だ。」その時全てが笑いになった。おかしくて仕方がなかった。
極限状態だったからこそのバカみたいなミス、極限状態だったからこそのバカみたいにミスに気づけない俺、そして極限状態だったからこそ解けてしまった解法。
テストが終わって騒がしい試験場の中で、一人ワークの解答を片手に天井を仰ぐ俺の心には全てが見えていた。
【感想】
もしあれを間違えてたら。その間の思考の様子も間違えてた、意味のないものだって思ってただろうな。あと、実際にはかなり複雑な式になるんや。期待値を求めるのも、分散を求めるのもシグマを使うし、分散の時はkが3乗になってすごいことになるから。でもそれらの式だらけの中で何を間違えているか、どこがおかしいのかを探すっていうのが凄かったな。実はこれが最後の問題で、俺は90分テストだったんだけど他の問題は今朝にハイスピードでワークを終わらせた余韻で瞬殺できたんや。60分くらいで終わって30分くらい残してた。だからこうなったってわけかな。
勉強はガチってるよ。でも今回の範囲は共テでも使わない可能性高くて勉強する気にならなかったんや。だから朝に詰めたんだけども。秀才じゃない、変なやつなんすよ僕は。
周りみんないいところのお坊ちゃんでさ。親の半分が研究者で、俺の親は中堅私立文系で、俺は塾に行ってないけど彼らはみんな何十万も払って難関国公立へ片道切符を得てる。俺は泥沼にそれらを斜めに見て、世界を反対に見て、オタ活やって創作やって下地が違うから会話もせずに。
そんな人間のどこが秀才だよ。独学だよこっちは。家計厳しいんだよこっちは。だから正直嬉しかった今回のは。別に勉強環境が今回の話と繋がっているわけではないんだけお無意識にそういうふうなことを考えていたからちょっとスカッとした(笑)
