2-2 数学-1(問題解決のプロセス 後編)
さて、以下は解答用紙上で④の作業です。方針が見えて気が緩む人が多いですが、基本的に採点者はここから先しか見てくれません。気を引き締めて、いざ、参らん†。
☆解答☆
以下、アルファベットは全て自然数とする。
<Ⅰ> dが奇数のとき、d＝2m＋1とおけて、
n,n＋2m＋1,n＋4m＋2,n＋6m＋3,n＋8m＋3の中には、nの偶奇に関わらず偶数・奇数がそれぞれ2個以上存在する。偶数の素数は２のみなので、dは奇数になり得ない。
<Ⅱ> d＝2のとき、n,n＋2,n＋4,n＋6,n＋8であり、
すべての素数nは、3k,3k＋1,3k＋2のいずれかで表される。
(i)n＝3kのとき、nは3の倍数かつ素数であるから、n＝3である必要がある。このとき、n＋6＝9で不適。
(ii)n＝3k＋1のとき、n＋8＝3k＋9となり、これは3の倍数でかつn＋8＞8であるから素数ではない。よって不適。
(iii)n＝3k＋2のとき、n＋4＝3k＋6となり、これは3の倍数でかつn＋4＞4であるから素数ではない。よって不適。
したがって、(i)～(iii)より、d＞2。
<Ⅲ> d＝4のとき、n n＋4,n＋8,n＋12, n＋16であり、
先の<Ⅱ>と同様にして、
(i)n＝3kのとき、nは3の倍数かつ素数だから、n＝3である必要がある。このとき、n＋12＝15で不適。
(ii)n＝3k＋1のとき、n＋8＝3k＋9となり、これは3の倍数でかつn＋8＞8であるから素数ではない。よって不適。
(iii)n＝3k＋2のとき、n＋4＝3k＋6となり、これは3の倍数でかつn＋4＞4であるから素数ではない。よって不適。
したがって、(i)～(iii)より、d＞4.
<Ⅳ>d＝6のとき、n,n＋6,n＋12,n＋18,n＋24であり、
すべての素数nは、5p,5p＋1 5p＋2,5p＋3,5p＋4のいずれかで表される。
(i)n＝5pのとき、nは素数であるから、n＝5である必要がある。このとき、5,11,17,23,29であるから、十分。
(ii)n＝5p＋1のとき、n＋24＝5p＋25となり、これは5の倍数でかつn＋24＞24であるから素数ではない。よって不適。
(iii)n＝5p＋2のとき、n＋18＝5p＋20となり、これは5の倍数でかつn＋18＞18であるから素数ではない。よって不適。
(iv)n＝5p＋3のとき、n＋12＝5p＋15となり、これは5の倍数でかつn＋12＞12であるから素数ではない。よって不適。
(v)n＝5p＋4のとき、n＋6＝5p＋10となり、これは5の倍数でかつn＋6＞6であるから素数ではない。よって不適。
したがって、(i)～(v)より、d＝6のとき、n＝5に限る。
以上<Ⅰ><Ⅱ><Ⅲ>より、求める(n,d)の組は、(5,6)・・・(答)
† 合同式を習っていない人に配慮し、合同式によう表記をしないこととします。しかし、いつかは学ばないと損をします。
