【002】準備/単位系の整理
今回は、小生と同志Gemin（AI）との間で行われた、物理定数に関するチャットの記録をまとめたものです。論文とか教科書とか読むとき単位系違うと係数とか数値違って大混乱になるので整理しました。SI単位系と自然単位系（粒子物理学、プランク単位、原子単位系、幾何学単位系）との換算表（latex形式）をあとがきの最後に掲載しています。
では早速、
小生： 自然単位系の考え方を教えてください。特に c=1, hbar=1 としたときの時間スケールが 1[GeV^-1] = 6.582 * 10^-25 [s] となることを理解したいです。
Gemin： 自然単位系（特に素粒子物理学で使われる系）の考え方の核は、「自然界の普遍的な定数を 1 と置くことで、異なる物理量の次元を統合する」ことにあります。ご質問の 1/GeV = 6.582 * 10^-25 s という関係は、換算プランク定数 hbar を用いて「エネルギー」と「時間」を相互交換することで導かれます。
1. 自然単位系の基本的な考え方
＜中略＞
3. このスケールの物理的な意味
この数値は、約 1GeV のエネルギーを持つ粒子の典型的な寿命や相互作用の時間スケールを表しています。
・例えば、エネルギーが大きくなるほど（分母の GeV が増えるほど）、対応する時間スケール GeV^-1 は短くなります。
・同様に、c=1 も併用すると hbar * c ≅ 197MeV * fm という関係から、長さ(fm)もエネルギーの逆数として計算できるようになります。
＜中略＞
しかし、計算を進める中で小生はミスを犯してしまいます。
小生： 6.582 * 10^-25 * 3 * 10^10 で計算すると 19.7 GeV * fm となります。どこが間違っているんですか？
Gemin： 『ついcgs単位系を使ってしまいましたね。1 cm = 10^13 fm です。10倍のズレはそこですよ』
小生： ……いやはや、恥ずかしい。ついcgs単位を使ってしまいました。しもうた！
気を取り直して、整理を続けます。
小生： SI単位から自然単位、自然単位からSI単位への換算表を、粒子物理学単位系、プランク単位系、原子単位系、幾何学単位系に対し、整理してください。
小生： 整理してくれた表に、換算係数を追記してください。係数は A(SI単位系の値) = 換算係数 * A(自然単位系の値) で定義したものを単位とともに記してほしいです。いちいち計算するの嫌なので。
小生： さらに上記の換算係数(SI→自然)、(自然→SI)を追記して表を更新したいです。あと、hbar * c ~ 197 [MeV * fm] や 1 [GeV] ~ 5 [/fm] など覚えやすい便利な式を追記してください。
Gemin： 承知いたしました。「付録：実用的な近似式とスケール感」として追記しました。計算時にサッと参照できる便利な資料になります。
【あとがき】
といった対話で表を作り込みました。日付追加、協力してくれたAIの名前も入れ、表示桁数やPDFにした時A4一枚に収まるようにと……。なんだかんだで結構時間かかったけどなんとか完成。
数値はいくつか確認したけど、全部はまだ未確認です。間違ってたら教えてください！実際途中、自分で自然単位系での1秒を計算するときcgs系の光速 c を使って10倍値が違ったりしましたから。こういう整理系はAIさんにはかないませんね。
【資料：物理定数と単位の定義】
本エッセイの計算で使用した主要な定数と単位の一覧です。
1. 単位の定義
•MeV（メガ電子ボルト）：エネルギーの単位。約 1.602 * 10^-13 [J]
•GeV（ギガ電子ボルト）：エネルギーの単位。1 GeV = 1,000 MeV
•fm：長さの単位。10^-15 [m]。原子核の大きさのスケール。
2. 物理定数（SI単位系）
•c（真空中の光速）：2.9979 * 10^8 [m/s]
•h（プランク定数）：6.6261 * 10^-34 [J・s]
•hbar（換算プランク定数 = h / 2*pi）：1.0546 * 10^-34 [J・s]
•G（万有引力定数）：6.6743 * 10^-11 [m^3/(kg・s^2)]
•me（電子の静止質量）：9.1094 * 10^-31 [kg] (約 0.511 MeV/c^2)
•mp（陽子の静止質量）：1.6726 * 10^-27 [kg] (約 938.3 MeV/c^2)
3. 数学記号
数学になじみのない方も読んでいるかもしれないので、念のため。
本稿では、テキスト形式で数式を表現するために以下の記号を使っています。
• ^：
「～乗」を表します。例えば 10^3 =1000、10^-2 = 1/100という意味です。
• * （アスタリスク）：
「×（かける）」を表します。例：2*4 = 8
• / （スラッシュ）：
「÷（わる）」や「～分の～」を表します。 例：10/2 = 5
• pi （円周率）：pi = 3.141592・・・ と無限に続く数字
以下に本日の成果(latexで書いた表)を掲載します。
なお、PDFファイルへの変換は例えば下記クラウドページで可能です。
https://cloudlatex.io/
******次の行以下を上記クラウドに保存しPDFに変換***********
\documentclass[10pt,a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[japanese]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{booktabs}
\usepackage{geometry}
\usepackage{multicol}
\geometry{left=15mm,right=15mm,top=15mm,bottom=15mm}
\begin{document}
\begin{center}
{\huge \textbf{自然単位系の分類と主要な換算関係式}} \\
\vspace{2mm}
\hfill \small 2026年4月19日 / 協力: Gemin
\end{center}
\section*{1. 体系別・定数定義表}
\begin{center}
\small
\begin{tabular}{lccccccp{6cm}}
\toprule
名称 & $c$ & $\hbar$ & $G$ & $e$ & $m_e$ & 主な用途 \\
\midrule
粒子物理学 & 1 & 1 & -- & -- & -- & 素粒子・原子核物理学 \\
プランク単位系 & 1 & 1 & 1 & -- & -- & 宇宙論・ブラックホール・量子重力 \\
原子単位系 & -- & 1 & -- & 1 & 1 & 原子物理学・量子化学 \\
幾何学単位系 & 1 & -- & 1 & -- & -- & 一般相対性理論・天体物理学 \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}
\section*{2. 双方向換算係数一覧}
\small 係数 $K$ を用いて $A(\text{Nat}) = K \times A(\text{SI})$、または $A(\text{SI}) = K^{-1} \times A(\text{Nat})$ と計算します。
\begin{multicols}{2}
\subsubsection*{(1) 粒子物理学単位系 ($c = \hbar = 1$)}
\begin{tabular}{lll}
\toprule
物理量 & SI $\to$ 自然 ($K$) & 自然 $\to$ SI ($K^{-1}$) \\
\midrule
質量 $m$ [eV] & $5.6095 \times 10^{35}$ & $1.7827 \times 10^{-36}$ \\
長さ $L$ [GeV$^{-1}$] & $5.0677 \times 10^{15}$ & $1.9733 \times 10^{-16}$ \\
時間 $T$ [GeV$^{-1}$] & $1.5193 \times 10^{24}$ & $6.5821 \times 10^{-25}$ \\
\bottomrule
\end{tabular}
\subsubsection*{(2) プランク単位系 ($c = \hbar = G = 1$)}
\begin{tabular}{lll}
\toprule
物理量 & SI $\to$ 自然 ($K$) & 自然 $\to$ SI ($K^{-1}$) \\
\midrule
質量 $m$ & $4.5945 \times 10^7$ & $2.1764 \times 10^{-8}$ \\
長さ $L$ & $6.1873 \times 10^{34}$ & $1.6163 \times 10^{-35}$ \\
時間 $T$ & $1.8550 \times 10^{43}$ & $5.3912 \times 10^{-44}$ \\
\bottomrule
\end{tabular}
\subsubsection*{(3) 原子単位系 ($e = m_e = \hbar = 1$)}
\begin{tabular}{lll}
\toprule
物理量 & SI $\to$ 自然 ($K$) & 自然 $\to$ SI ($K^{-1}$) \\
\midrule
質量 $m$ & $1.0978 \times 10^{30}$ & $9.1094 \times 10^{-31}$ \\
長さ $L$ & $1.8897 \times 10^{10}$ & $5.2918 \times 10^{-11}$ \\
時間 $T$ & $4.1341 \times 10^{16}$ & $2.4189 \times 10^{-17}$ \\
\bottomrule
\end{tabular}
\subsubsection*{(4) 幾何学単位系 ($c = G = 1$)}
\begin{tabular}{lll}
\toprule
物理量 & SI $\to$ 自然 ($K$) & 自然 $\to$ SI ($K^{-1}$) \\
\midrule
質量 $m$ [m] & $7.4261 \times 10^{-28}$ & $1.3466 \times 10^{27}$ \\
時間 $T$ [m] & $2.9979 \times 10^8$ & $3.3356 \times 10^{-9}$ \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{multicols}
\section*{3. 実用的な換算式とスケール感 (Appendix)}
\begin{multicols}{2}
\small
\textbf{(1) 長さとエネルギー ($\hbar c \approx 1$)}
\begin{itemize}
\item $\hbar c \approx \mathbf{197.3 \text{ MeV}\cdot\text{fm}}$
\item $1 \text{ GeV} \approx \mathbf{5.068 \text{ fm}^{-1}}$
\item $1 \text{ \AA} \approx \mathbf{5.068 \times 10^5 \text{ eV}^{-1}}$
\end{itemize}
\textbf{(2) 温度とエネルギー ($k_B \approx 1$)}
\begin{itemize}
\item $1 \text{ eV} \approx \mathbf{1.160 \times 10^4 \text{ K}}$
\item $1 \text{ GeV} \approx \mathbf{1.160 \times 10^{13} \text{ K}}$
\end{itemize}
\textbf{(3) 質量スケール ($m$)}
\begin{itemize}
\item 陽子 $m_p \approx \mathbf{938.3 \text{ MeV}}$
\item 電子 $m_e \approx \mathbf{0.5110 \text{ MeV}}$
\item パイ中間子 ($\pi^\pm$) $\approx \mathbf{139.6 \text{ MeV}}$
\end{itemize}
\textbf{(4) 無次元量}
\begin{itemize}
\item 微細構造定数 $\alpha^{-1} \approx \mathbf{137.0}$
\item 結合定数 $\alpha = e^2/4\pi \approx \mathbf{7.297 \times 10^{-3}}$
\end{itemize}
\end{multicols}
\end{document}
