一分で分かる相対性理論
テンソルの説明だけでは面白くない。
そこで相対性理論を解説する。「一分で分かる相対性理論」である。ただし、なんせ一分でなので、かなり省略してぶっとばして説明している。細部や厳密性は完全無視である。そのかわり、数式はほぼゼロで説明している。
筆者は数学者でもなければ、物理学者でも研究者でもなく、ただのオンライン作家にすぎない。研究者なら厳密性を求められるが、ただの一般人なので大目に見てほしい。
まず、テンソルが理解できたところで、なぜこんなものを考えるのか？ という疑問に答える。それはローレンツ不変な「何か」を探したいからだ。相対性理論は光速度不変原理と相対性原理という二つの原理を出発点にする。そして、ローレンツ不変とはローレンツ変換に対して不変という意味だ。
ローレンツ変換は光速度不変原理から導かれる。そして、相対性原理とは、座標変換に対して物理法則が不変ということだ。
結局、相対性原理を満たす、座標変換に対して不変な「何か」を探していたら、それがテンソルだったということだ。そしてこれが、アインシュタイン方程式がテンソルで書かれている理由である。
アインシュタイン方程式を一行で説明すると、
時空のゆがみ(重力場)=物質の分布
ということになる。
これは全てテンソルで書かれているので正確には、
時空のゆがみ(重力場)のテンソル=物質分布のテンソル
ということになる。さらに分かりやすく、宇宙規模で書けば、
重力場=星の分布(星の配置)
という一行で書けてしまう。
ここで、相対性理論を勉強していると、テンソルのところで必ず、共変ベクトルと反変ベクトルが出てくる。これはある座標変換において、基底ベクトルが受ける変換に対して、
反変ベクトル==>基底変換とは逆の変換を受けるベクトル
共変ベクトル==>基底変換と同じ変換を受けるベクトル
ということだ。ローレンツ不変量は、共変ベクトルと反変ベクトルを使うと簡単に書ける。だからテンソル計算には共変ベクトルと反変ベクトルが使われるのだ。ここで計量テンソルと呼ばれるテンソルが出てくる。これは上に述べた、時空のゆがみを計算するのに使われる。
ローレンツ不変は光速度不変という原理からの要請だから、これで理論の出発点の条件は満たされることになる。計量テンソルが分かれば、アインシュタイン方程式まであと少しだ。
ところで少し考えれば分かるが、基底ベクトルが十倍されたとしたら、位置ベクトルは十分の一にならないと大きさが同じにならない。従って位置ベクトルは反変ベクトルである。同様に考えると、電場は基底と同じ変換を受ける。従って電場は共変ベクトルである。整理すると、
反変ベクトル==>上付き添え字==>位置、速度、加速度など時間微分
共変ベクトル==>下付き添え字==>電場、磁場など
となる。これらを使えば、位置、速度、加速度、電磁場を全て４元ベクトルで統一的に記述できる。これらの表記法は、さらに発展させるとゲージ理論などにつながる。詳しくはWikipediaの「ベクトルの共変性と反変性」「４元ベクトル」「４元電流密度」などを参考にしていただきたい。非常に分かりやすく整理されている。
次回は、なぜかTensorFlowの話になる。実は共通点があるのである。
