136_素数を数えると心が躍る。
素数とは、自然数で、それ自身か、１しか約数がない数のことを言うのでしたかしら、とか昔の記憶を掘り下げながら、つぶやき始める今日のゴブリンであります。
自然数というのは、物を数える時に使用する数のことでしたか、一つ、二つと、明確に区切ることのできる対象とか、数えることのできる時に使っている数でしたか。
約数というのは、割れることのできる数のことでしたね、６は３で割れることができるので、３は６の約数と言えるわけです、２も同様に６を割ることができますので、２も６の約数ですね。つまり６はそれ自身以外の約数があるので素数ではないわけです。
どうやら、１そのものは素数ではないとなっているようです。その理由として、１が素数であるならば、他の数を１を含めた掛け算で表す時に、表現法方が無限に広がってしまうのがよろしくないとのことでした、webの斜め読みですので、確認作業は必要かと思いますが、つまりは、４を表現する時に、１の３乗かける２かける２とか表現したり、１の６乗かける２かける２とか表現できたりもできるようになるので、１を素数とするべきではない、というような論調のようです。
このように答えが複数出てきてしまうのはややこしいということで、ややこしいというか、使用しにくいということで１は素数とは考えられなくなってきているようです。
この辺りは踏み込むとかなり深いお話になりそうな話題であります。
素数は無限に存在するということは、大昔に証明済みであるそうです、どのくらい昔かというと、紀元前３世紀くらいにはすでに証明されていたとのことです。ユークリッドさんという方が書かれた原論というご本に記載されているのとのことです。
証明方法は結構簡単なものでして、
『仮に素数に限りがあるとしますよね？ではその限りある素数を全て掛け合わせたものに、１を加えてみてください、その数は、その数自身以外で割れますかね？割れなかったら、素数ですが、でもその素数を全て掛け合わせた数は、限りあるとした素数のどの数よりも大きいですよね？逆に素数を、全て掛け合わせた数に１を加えた数が、素数でなかったとしたら、掛け合わせたもの以外に、新しい素数があることがわかりますよね？ですから、素数に限りがあるというのは、間違いなのですよ。』
といった感じでありますね。このように、もし、『なになにが正しいならば』ということを仮定して、矛盾が出ると、その『なになに』が間違っている、という手法で、物事を証明する方法を、背理法というようです。16歳くらいで習うようなカリキュラムでありましたかね？
ここで注意が必要なのはですね、存在するすべての素数を掛け合わせて１を加えたものが素数かどうかを考えるということでありまして、単純に素数を順にかけていって、適当なところで１を加えたものは、必ずしも素数にはならないのですよ、ということでしょうか。最初に斜め読みした時にゴブリンも引っかかった点です。
素数が無限に存在するという証明は、結構いろいろな方がされていまして、ゴールドバッハさんとかオイラーさんとか、エルディシュさんとか、フィルステンベルグさんとか、ざっくり眺めるだけでもこれほどの方々が証明されているようです、Σとか発散とか数学的な記号を駆使した説明がざっくりと記載されているのを斜め読みした限りでは、とても興味深く、楽しめそうな話題だとする人々も多いように見受けられます。
ゴブリンも好物でありますので、うっかりとすると、半日くらいリンクを漁ってしまってしまうので、十分に気をつけていただきたいと、忠告する次第であります。
最近のフィリップ・サイダックさんの証明方法が一番簡潔であるのは、やはり、表現が進歩しているのであるのだなと、感心してみたりもします。簡潔であるから簡単かというと少し違うようではありますが。
「素数を数えるくらいでは恋心は収まらないのです」
「少なくとも数えている間は他のことが止まりますよ”ご主人様”」
