コラッツ予想(35)不変ビットが収束を加速する
末端の連続操作は単体計算よりも効率よく縮むことがわかった。
見やすいように(3n-1)/2補数演算のほうで記述する。
000000001
00000001
0000001
000001
000000101
00000111
000101
00111
101
000001101
00010011
00111
101
000101101
01000011
11001
0101
000100001
00110001
1001001
101101
(上と同じ形)
不変ビット2^2が0の場合は1桁づつ縮むが1の場合はほぼ1.5桁づつ縮んでいる。
111と101を繰り返すからだ。
連続する1は2回の操作で2桁縮むが、不変ビット2^2が0の場合は
11111011
1111
4桁縮む。
((1+1.5)/2+(2+4)/2)/2=(1.25+3)/2=2.125
で1.75より速く縮むことになる。
最初の観測値ほぼ2が正しかったことになる。
不変ビットに1があれば伸びることはないということである。
いままで小さい数の収束が説明できなかった。しかし、補数計算では上位から不変ピットに1が供給される。(正数演算では0であり、同意)
コラッツ演算では末端の連続する0意外は桁あがりで不変ビットの値や位置が変わる。
3^5=11,110,011(2)
なので0が五個以上つづけば長い0は出にくい。
連続する0の長さが徐々に短くなるので巡回することなく収束する。
0が3つか4つ程度が連続し続ける数列があれば収束しなくなるが、2:1あるいは1:2程度に分割されてしまうため、発散および巡回するような数がつくれない。