3.10 Wallpaper group:pmm 壁紙群ｐｍｍ
本項には図表があるため、挿絵表示ONを推奨します。
壊滅していたゴブリンの巣まで進むと、ダンジョンが出現していた。報告は無かったから新規ダンジョンだ。何かの影響で魔力場が歪んだ場所に入口ができたんだろう。
「やっぱりダンジョンか。あれだけのモンスターが地上に隠れてたなんて考えにくいもんな」
「ダンジョンって、こんな広場だったっけ？ 前のは迷路みたいだったのだ」
「これは、いわゆるモンスターフロアってやつだね」
モンスターフロアは、その名の通り非常に多くのモンスターが出現する階層で、広大な空間からなるものを指す。
仮に浅層であったとしても、階層数から想定されるより強いモンスターが出現するため、数的も質的にも苦戦を強いられることが探索での注意点だ。
「あいにく、モンスターは出払ってるみたいだ」
「残党も討伐しておこうか」
そして今、残っていたモンスターも全て暗転に飲まれた所だ。僕のパートナーが頼もしすぎる。
「まったく、広いだけでわくわくしないダンジョンなのだ。ルーちゃん、これ最後までいくの？」
「いや、この階層の階段を調べたら終わりにするよ。ラトちゃんの言う通り、大部屋1つで面白い所がないな」
ダンジョンの階層と階層の間を繋ぐ階段は、ダンジョンを構成する魔力を反映した特殊な構造物だ。僕たちは、階段に表れる模様のパターンを調べることで、ダンジョン全体の性質を知ることができる
ダンジョンの階段に現れる2次元の模様に対し、直線的に移動させたり、回転させたり、鏡写しにしたりする操作を行い、模様の重なり方を調べる。
この重なり方を分類すると、完全に重なるパターンは17種類＋αになる。αの時は、神などによる超自然的魔力が影響したダンジョンだと分類できる。
「このダンジョンの壁紙群は、pmmか」
「ぴーえむえむ？」
「こういう模様のことだよ」
分析機器に接続した魔力板を見せる。
「きれいな模様だけれど、青い窓はなんなのだ？」
「えっと、ちょっと難しいんだけど、全体の模様は、あの青い部分の繰り返しで表現できるんだよ」
今回の模様を例にして、壁紙群pmmの説明を試みる。まずは図の青枠の部分を拡大してみよう
窓の中の旗は、図形の向きを表している。まず、青枠内の図形について、大きさを変えずに、ぴったり重ねる方法、対称操作を集める。
左上の枠を基準に考えて、横方向に鏡写しにすると、右上の枠に重なる。同様に、縦方向に鏡写しにすると、左下に重なる。さらに、青枠を180度、ぐるっと半回転させると、右下に重なる。これは他の枠を基準に考えても、全て成立する。
この窓を単位構造とすると、繰り返しによって全体の模様が作れる。そして、全体の模様でも単位構造と同じように、横の鏡写し、縦の鏡写し、半回転で元の模様にぴったり重なることがわかる。
壁紙群pmmは、以上の3つの対称操作で図形が重ねられるパターンだ。この3つに、「何もしない」という対称操作を加えた、4つの対称操作に名前を付けて、以下のようにする。
横方向の鏡写し：σh
縦方向の鏡写し：σv
180度回転：C₂
何もしない：E
とにかく、4つの対称操作、重ねられる操作があるパターンなのだ。
次に、4つある操作について、操作を組み合わせたらどうなるかを考えてみる。組み合わせって何をすればいいかというと、単に操作を連続して行うことだ。
例えば、左上の青枠に対して、横方向の鏡写し(σh)を行った後に、続けて縦方向の鏡写し(σv)をする。そうすると、左上の青枠は、右下に重なる。左上の青枠が右下に移る操作は、青枠を180度回転させる操作(C₂)と同じだ。
横と縦の鏡写しを組み合わせた変換は、180度回転と同じ結果になる。術理院ではσhとσvの積と表現し、以下のように記述する。
σh・σv = C₂
σv・σh = C₂
このように全部の組み合わせを調べると、次のような表が作れる。模様のパターンに対してこういう表を作ってみて、同じ表が作れたら、それらの模様は同じ壁紙群に分類できる。
僕の説明に目をぐるぐるさせるラトちゃん。
「あうぅ、何がわからんのか分からないのだ～」
「とにかく、この群の指標表を作ると、いろんな分類ができるようになって便利なんだよ」
屈んで解析機器を立ち下げる僕の背中にラトちゃんが乗っかり、肩越しにどこまでも深く深い青の香りがくすぐった。
「ルーちゃんが精神にぼくを入れてくれたら分かるのにな」
「その魔法は可逆だ。あるいは、ラトちゃんの精神に僕が入ることになるな」
「むぅぅ、それだと発狂しちゃうかも…」
「そうならないためにも、ラトちゃん自身が理解してくれたら嬉しいよ」
