量子重力理論の行方
余剰次元が発見できるかと言われても、物理学に詳しくない人にはよく分からないだろう。またハードSFを志す者の使命は、未来を予想することである。超弦理論研究に投資したいという投資家の要望に応えるのもまた、使命であろう。そこでこの章ではある程度の見通しを与えるべく、筆者の現在の知識で可能な限り予想してみたい。
まず量子論から始めよう。量子論の基本構造は、力学の連成振動と似ている。連成振動では、固有値と固有ベクトルが求められるが、固有値が固有振動数に相当し、固有ベクトルが振動の方向であるモードを決める。同じように量子論では、固有値が物理量を、固有ベクトルが固有関数を決定する。
ここで問題になるのは、物理量である。物理量はエルミート演算子により決まるのだが、これが連続値と離散値になる場合がある。つまり、エネルギー固有値と位置固有値の場合などである。ここでこのような疑問が浮かばないだろうか？「エネルギー固有値は離散的だとして、位置の固有値は当然実数だ。ならば、両者の濃度は異なるのではないか？」その通りである。これが離散固有値と連続固有値と呼ばれるものだ。そして問題は、濃度の違いから本来このような変換は不可能だということである。気になる方は、「デルタ関数と完全系」について検索することをお薦めする。興味深い知識が得られるはずだ。あるいは、「Rigged Hilbert space」について検索すれば、決定的な事実が分かるだろう。ネットにはすでに複数の書き込みがあり、研究者だけでなく、この事実を知っている人間は多いようだ。
つまり結論としては、量子論には数学的瑕疵があり、この宇宙を正確には記述できないということだ。実際の観測結果では、相当大量のデータを取らない限り問題にはならないだろうが、だからといって見過ごしていいわけではない。それどこか観測結果が合致しているなら理論値の方が破綻している可能性がある。
次に一般相対性理論についてだが、一般相対論にも問題がある。「裸の特異点」と呼ばれる問題だ。特異点は重力が無限大になる点で、物理法則が破壊されてしまう。いわゆる宇宙検閲官仮説によって「裸の特異点」は存在しないとされてきたが、近年存在する可能性が指摘されている。
このような状況はどうして引き起こされるのか？
そもそも万有引力の法則は逆二乗の法則である。そしてクーロンの法則も逆二乗の法則だ。当然の結果として原点では無限大となり発散する。そして相対論でもまた、シュワルツシルト解では原点に特異点が出現する。それらの原因は質点系にある。物体を点として近似したため、無限大が出現するのだ。相対論ではユークリッド幾何学ではなく、リーマン幾何学が採用されているが、連続体である事実は変わらない。そして万有引力の法則はアインシュタイン方程式の一次近似解に含まれる。質点や点電荷という概念は、連続体である以上避けることができない。
このように考えると、特異点が出現する相対論は宇宙を正確に記述していないのではないか、と考えたくなる。とすれば、存在しているブラックホールをどう説明するのか。
ブラックホールの実在性については、以前から議論がある。ブラックホールはブラックホール脱毛定理より、三つの情報しか観測できない。現在観測されているブラックホールも、質量やエックス線によって間接的に観測されているにすぎないのだ。ブラックホールが、相対論の予測するブラックホール以外の何かだとしたらどうだろう。別の理論で正確に記述される別の何かだとしたら。
ここまで書けば、筆者が何を言いたいのかが分かってきたのではないだろうか。量子論も相対論も宇宙を正確に記述できない。
つまり、「この宇宙は連続体ではない。また、離散的でもない」と言いたいのだ。こう言い換えてもいい。「この宇宙の濃度は、可算濃度でも連続体濃度でもない」さらには、「宇宙は計算可能かは決定不能である」としてもいい。またこの議論は「量子は波動か粒子か」と同じ構造をしている。
このような議論は以前「Made with secret alien technology」ですでにしている。少し長くなるが引用する。文頭と文末の括弧は気にしないでもらいたい。
「(cardinality '(ここでいきなり連続体仮説の話になる。量子系と古典系の境界はどこにあるのか。その答えは、ヒルベルトプログラムにまで遡る。直観的にいえば、量子系はデジタルであり、古典系はアナログである。量子系を計算するということは、アナログからデジタルに変換することを意味する。この作業はユニタリ変換で計算できるが、不確定性原理により全てを同時に知ることはできない。この疑似アナログ=デジタル変換は連続体仮説と関係がある。
チューリング機械の停止問題の証明には、対角線論法が使われるが、濃度の問題はもっと深い、根源的な問題がある。つまり量子系はデジタルで、古典系がアナログなら、両者の濃度は等しいのか、という問題だ。
仮に宇宙が量子コンピューターであり、計算可能であり、チューリング完全だとしよう。そうであるなら、宇宙というチューリング機械のプログラムの濃度は、自然数の濃度と等しくなければならない。しかし、われわれの宇宙は古典系であり、その濃度は実数と等しいはずである。ところで連続体仮説から、両者の濃度の間には別の濃度は存在せず、これ以上の考察は不可能である。(なぜなら、連続体仮説は証明も反証もできないから)
結論としては、量子系と古典系には埋め難い溝があり、両者を統合するのは不可能ということになる。量子重力理論にしろ、量子コンピューターにしろ、両者の溝を埋めることのできない、不完全なものでしかないだろう。結局、この宇宙がそのようにできているからという、不可知論を結論とする他ない。1963年に連続体仮説がZFC独立であると証明されたときから、現在の数学の枠組みでは統合は不可能だ。もし可能性があるとすれば、ZFCとは全く異なる、別の数学体系が必要になる。望みは極めて薄い、としかいえない。))」
ここで結論を修正する。この宇宙は連続体ではない。また、離散的でもないからといって、全く可能性がないわけではない。超弦理論に可能性がないと断言するのは、結論を急ぎすぎである。
標準理論でもニュートリノ振動やK中間子振動など、すでに説明できない現象があるため、超弦理論に期待がかかる。超弦理論の基本的アイデアは、全ての素粒子を振動する弦としてとらえ、固有振動数によって素粒子を分類するものだ。従って超弦理論では素粒子は点ではない。
ならば超弦理論ではうまくいくのか？
現在の超弦理論では難しいと思われる。超弦理論も相対論を取り入れている以上、あまり希望は持てない。宇宙の濃度は可算濃度でも非可算濃度でもない以上、その中間にあるか、あるいは何らかの相互変換のような代替物が必要だ。しかし、連続体仮説がある以上それは難しい。現理論の手法は複素数を使うものだ。キッチンで使うスポンジを想像してほしい。スポンジと水面が接する面は点の集合になる。スポンジのある空間を複素空間とすれば、水面が実空間になる。おおよそこのようなイメージである。このようにして、可算濃度と非可算濃度を変換しているのだが、この方法ではうまくいかない。
状況を整理すると現代数学では、ZFC上に構築されている以上、数学からの新展開はない。とすれば、ありえるのは新粒子か新しい力の発見しかない。実験事実から新理論を創るしかないのだ。事実、物理学の歴史は数学の歴史でもある。特に素粒子物理学は数学と非常に近い。
LHCの出力は13TeVであるが、出力増強計画が一つの基準になるだろう。出力が上がれば、新事実が発見される可能性があるからだ。
もちろん「ある日突然、天才が出現して新理論を発表」という可能性はあるが、こればかりは予測不可能だ。ただし、ゲーデルやチューリング、ノイマンクラスの天才でなければ無理だろう。そんな天才が簡単に現れるとも思えない。もしそんなことが起これば、今世紀最大の発見になることは間違いない。なぜなら、理論の再構築によって、数学のミレニアム問題はほぼ解決される可能性があるし、その結果として、人類は新時代を迎えるだろうから。
