京都大学 ２０１０年 甲【３】 ～余弦定理を使って無理矢理解く～ （講師：芳樹ルナ）
comicoで連載している拙作、「ガブリエルは知っていた」（鵺明けシリーズの新作）に登場した京大の過去問です。
予備校などが出している解答はタンジェントを使ったものが多い（というかほとんどな）ので、ここは敢えてコサイン、つまり余弦定理を用いて無理矢理解いてみます。
担当講師は外道魔法少女で有名なルナです。
【問題】xを正の実数とする。座標平面上の3点A（０，１）B（０，２）P（ｘ,ｘ）をとり、△APBを考える。xの値が変化するとき、∠APBの最大値を求めよ。
「この問題を担当する芳樹ルナだ。俺のことが詳しく知りたい奴は、『外道魔法少女ルナ』を見てくれ」
「さて、コミコの方で外道探偵少女がこの問題について円を使ったシンプルな解答を紹介していたので、俺の方は敢えて余弦定理を使って無理矢理解いてみることにする」
「というか、一般的な高校生がこの問題を見た時に最初に思いつくのが、むしろこの余弦定理を使ったやり方だと俺は思う」
「しかし、多くの人間が途中でその手法を諦めるハズだ。というのも、この方法だと計算がかなり煩雑になるからだ」
「実際にやってみよう。とりあえず、グラフに三点Ａ、Ｂ、Ｐを書いて、余弦定理を使うと……」
「こんな風に、かなり複雑な式になっちまう。ルートの処理が面倒なので、ここでつまずく奴が大多数だが、ここで少し計算を進めてこんな風にする」
「すると、COSΘの係数が０でないことは明らかだから、」
「こうなって、」
「こうなる。すると、後は簡単だ」
「このように、相加平均相乗平均の関係を使ってうまくｆ（ｘ）の最小値、COSΘの最小値を出し、Θの最大値へとつなげればいい」
「ちなみに解答全体はこんな感じだ」
「多くの予備校が出しているように、タンジェントを使った方が記述量も少なく、時間もかからないが、このようにコサインを使っても十分解答が可能だ」
「ちなみに、こんな風にするともう少し計算量を減らすことも可能だ」
「こちらの方が楽だが、先ほどとやっていること自体はあまり変わらない。重要なのはどのようにやっても結論は変わらないということ」
「外道探偵少女も言っていたが、〝正しい事実同士を正しい方法で組み合わせた結果として出てくる新しい事実は、それが例えどんなに意外な結果になったとしても、正しくなくてはいけない〟」
「だから、数学ではどんなやり方をしたって、途中で間違ったことさえしていなければ、必ず解答にたどりつける。点を取るだけなら、発想力やセンスなんて必要ない。どんなやり方をしても解答にたどり着けるよう、計算の技術を磨くだけだ」
「以上でこの問題の解説を終了する。何か質問があれば作者宛にメッセージをくれ。じゃあな」
