四色問題の証明？

四色定理の証明

この証明における図はtwitterにて投稿するものとします。お手数ですが吉備星@松江市は今日も大勢(@TaiseiM0307lisa)までお願い致します。

また、高校レベルの知識によるものであり、恐らく、全く証明になっていないものと思われます。

ご指摘•アドバイスなどあれば、是非お願い致します。

I:(図1参照)

四色をA,B,C,Dとする(ただし、A1≠B1≠C1≠D1であり、A1＝A2＝A3とは限らない)。

α面(A1)とすると、

(図2参照)

(i)γ(A1)のとき

β(B1またはC1またはD1)

(ii)γ(B1)のとき

β(C1またはD1)

(iii)γ(C1)のとき

β(B1またはD1)

(iv)γ(D1)のとき

β(B1またはC1)

さらに、β面をα•γ面とのそれぞれの接点同士をつなぐ線分によって分断する(このとき、δ面との接点との線分を設定するとβ(A1またはB1またはC1またはD1)となるが、この場合は後に証明することになる)

このとき、β面内の図形は全て対角線線上に図形を持つ。β面内の図形の個数を2nまたは2n−1とすると。一つの図形を基に辿ることの出来る対角線上に存在する図形の個数はnまたはn−1個。そこに含まれない図形の個数はn個で、同様に辿ることが出来る。

したがって、β面内の図形は2色で塗り切ることが出来る。

さらに、線分の定義より、β面とδ面との接線を含むβ面内の図形は両端に一つずつしか存在しない。

(図3参照)

このときの図形をβ1、β2とおく。

(i)でβ1、β2が同じ色のとき

δ面は余った2色から選ぶ

(i)でβ1、β2が異なる色のとき

δ面は余った一色となる

(ii)〜(iv)でβ1、β2が同じ色のとき

δ面は余った一色となる

(ii)〜(iv)でβ1、β2が異なる色のとき

塗り切れず不適

II:(図4参照)

ε面(A2)とすると、(図5参照)

(i)θ(A2)のとき

ζ•η(B2またはC2またはD2)

(ii)θ(B2)のとき

ζ•η(C2またはD2)

(iii)θ(C2)のとき

ζ•η(B2またはD2)

(iv)θ(D2)のとき

ζ•η(B2またはC2)

よって、この様な図形は常に四色で塗り切れる。

III: Iのβ面の様に完全に図形に囲われた図形をI図形とし、I図形を中心に出来る図形群をI図形群とする。

また、IIの様に完全に図形に囲われていない、I図形を持たない図形群をII図形群とする。

I図形群において、

I図形(A3)とする。

I図形と接する図形群をp層

p層と接する図形群をq層

•

•

•

とする。

(図6参照)

このとき、p層(B3またはC3またはD3)

(1)p層内の図形で、I図形とp層内の他の図形と4個以上接するものがなく、p層の図形の個数が2m(mは自然数)のとき

pは最低2色で塗り切れる

(2) (1)のとき以外(p層の図形の個数は2m＋1個。)

p層内の図形を塗り切るには3色必要である

(1)のとき、q層(A3またはB3またはC3またはD3)であるが、A3•p層で使用しなかった色、の2色は必ず選ぶことが出来て、塗り切れる。•••(3)

(2)のとき、少なくとも三色を一回でも使えばよい。よって、3個以上のp層の図形と接するq層の図形が、2個以上連続して接しているとき、それに接するp層の図形は2色で塗ればr層も塗り切れる。•••(4)

また、r層以降も(3)または(4)の方法によって塗り切れる。

さらに、全ての図形群はI図形群とII図形群によって成立している。

また、A,B,C,Dの定義より、A1＝B2＝C3等とすることも可能である。

よって、I図形群同士•II図形群同士•I図形群とII図形群の接合部で、色が隣りあわない様に、A1〜3、B1〜3、C1〜3、D1〜3にA,B,C,Dを当てはめれば、I図形群とII図形群によって作られる図形は塗り切れる。

したがって、全ての図形群(地図)は四色によって塗り切れる。QED