公園にて § 三角関数 §
全ての受験生の為に
§ 発端 §
ガルアは公園のベンチに腰かけ、本を読んでいた。
昼食後のいつもの日課だ。
季節は春。
暖かな陽射しが心地よい。散歩の途中の読書には最も適した時期だった。
小一時間程本に没頭していただろうか。ふと、喧騒に顔を上げた。
少し離れたところで数人の少年たちが何やら言い争いをしていた。
総勢5人。2人と3人の陣営に分かれているようだった。
(2と3は素数。足した値もまた素数か)
面白いなとガルアは思う。
「……っな訳あるかよ。ふざけんな！」
5人の中で最も背の高い金髪の男の子、どうやら3人グループのリーダーの様だ、がもう片方、つまり2人組の一人の肩を小突いた。
小突かれた少年は顔を真っ赤にして大声を張り上げる。
「それはこっちの台詞だ！」
背こそ金髪の少年より拳一つ低いが体の造りはこっちの少年の方がガッチリしていて、小突かれたからといって決して負けてはいない。
赤い髪の毛が少年の気性を端的に表している。すなわち、売られた喧嘩は買うタイプだ。
二つのグループは臨戦態勢で睨み合った。
ガルアはヤレヤレとため息つきと立ち上がる。
子供の喧嘩に大人が介入するのも如何なものかと思うが、無益な争いで少年たちが傷つく危険を看過するのも憚れた。
「諸君。一体、何を争っているのかね？」
突然の見知らぬ大人の登場に少年たちは驚いたようにガルアを見た。
「こいつが、あのオベリスクの方がこっちの木より高いって言いやがるんだ」
赤毛の少年がおずおずと口を開く。
ガルアは少年が指さすオベリスクと木を見比べた。
オベリスクは三年ほど前の海外討伐の戦勝記念に建てられ大理石の塔の事。一方、木はこの公園のほぼ中央に生えている巨木だった。恐らくはこの公園で一番古く、大きい木だろう。
「君の口振りだと、君は木の方が高いと思っているようだね」
「あ、当たり前だ、あの木は俺のじいちゃんのじいちゃんが子供の頃にもうあったんだ。最近建てられた訳の分からない建物より低いわけ無いんだよ」
「ふふん、何を馬鹿な事を。
良いかい、かのオベリスクは僕らの祖国が世界の盟主になった証なんだ。
大自然すら最早僕らの祖国の威光には叶わない。
あんなショボくれた木に後れをとるわけがないんだよ」
金髪の少年の鼻息は荒かったがガルアにしてみればどちらの少年の言い分も本質は同じで、根拠がなかった。
残念ながら目分量では分からない。そもそも、オベリスクは公園の東側、木は公園の中央にあるので比較自体がやりにくかった。
「成程、それでこの争いですか。
要はどちらが高いか判れば良いのだね」
「そ、そうだけど。それが分からないから困って……、おじさんに分かるの？」
「判らない訳ではない」
赤毛の少年におじさんと呼ばれた事に少しショックを受けながら、ガルアは答えた。
「明日、この時間にここに来なさい。
そうしたらどちらが高いか教えて上げよう」
「「「「「本当？！」」」」」
驚く少年たちにガルアは力強く頷いて見せる。
「本当だ。だから、つまらない言い争いは止めなさい」
金髪の少年と赤毛の少年が互いの顔を見合う。二人はほぼ同時にガルアを見る。
「おじさんの言うことが本当なら約束する」
と赤毛の少年が言った。
「僕も約束しよう」
金髪の少年も承諾をする。
「よろしい。ではまた明日、ここで会おう」
ガルアは満足そうに微笑んだ。
足早に去っていく少年たちを見送りながら、ガルアは空を見上げる。
「はてさて。明日も晴れてくれれば良いがな」
春の暖かな太陽に目を細めながらガルアは一人呟いた。
§ 三角形の合同と相似 §
次の日の同じ時刻。ガルアと少年たちは再び出会った。
「さあ、おじさん。教えてくれ」
赤毛の少年がじれったそうに言った。
「まあ、待ちなさい。
どちらが高いか結論を出す前に少し話をしなくてはならない」
「何故だ」
と、金髪の少年が尋ねてくる。
「今、私がどっちが高いと言ったとしても君たちは信じないだろう。
だから、どうやって私がどちらが高いと判断したかを理解してもらう必要があるのさ。
少々込み入っているが、辛抱して聞いてくれたまえ。
さて、話を始める前に自己紹介を済ませておこうか。
私の名前はガルアと言う。
君たちは？」
ガルアの提案に少年たちは次々と名前を教えてくれた。
赤毛の少年はロッド。
金髪の少年はガウディと名乗った。
ロッド派、すなわち木の方が高いと思っているグループの一人、(しかいないが)、はマゼランと言った。
対してガウディ派の二人はミゲルとキシリングと言うらしい。
「では、話を続けようか。
君たちは三角形なるものを知っているかね」
唐突な質問に少年たちは戸惑いを隠さなかった。
「知ってるよ、そんなもの。それがなんだって言うんだ」
ロッドが馬鹿にするな、と言うように答えた。
「宜しい。
簡単に三角形の特徴を説明すると三つの頂点、三つの辺、三つの内角を持つ図形だ。
ここまでは良いかな」
ガルアは地面に三角形を幾つか描いて見せた。
「さて、では三角形はどのくらい存在すると思う？」
「三角形の数……?」
ロッドは困惑した顔をした。
「いくつだってあるさ。
角度をちょっと変えたって、辺の長さが僅かに違うだけで違う三角形になる。
いくつだって作れる」
ガウディの答えにガルアはにっこり微笑む。
「その通り、ご名答。
三角形は無数に存在する。
では、今度は逆の質問をしよう。
三角形が同じだと言えるための条件は何だろうか？」
「同じだ言える条件……？」
「例えば二つの三角形があったとする」
ガルアは地面に二つの三角形を描いて見せた。
「その二つの三角形が同じと判断するにはどのような条件が必要だろう？」
ガルアの問いに少年たちは頭を捻る。やがて、マゼランが自信無さそうにいった。
「えっと、三つの辺が同じ長さ」
「そう、その通り！素晴らしい！！」
ガルアに誉められマゼランは頬を赤らめた。
「三角形の辺の長さが三つとも同じならその三角形は同じなんだ。
さて、次は？」
「次って？ 他にもあるの？」
「ある。実はまだ他にも、それが成り立てば同じ三角形と言えるが条件がある」
「えっ？ でも、一つあれば、それでいいじゃん。他に条件があったって考えても無駄なんじゃないの？」
「ふふふ。なるほど。一理あるね。でもさ、いつでも三角形の三つの辺の長さを図れるとは限らない。だから、他にも同じだって言える条件を考えておいても無駄にはならないさ。
と言うことで、君たちに分かるかな？」
しばらく待ったが今度は少年たちから答えは出てこなかった。
「では、ヒントだ。
三角形が同じと言えるための条件と言うのは、その条件に従うと、一つしか三角形が描けない条件と言い換える事ができる」
ガルアは地面に一本の線を引いた。
「この直線の、例えば左端を中心に円を描く」
ガルアは地面に描いた直線の左端を中心にぐるりと円を描いた。
「さて、もしもさっきの条件とは異なり、三角形の辺の長さが二つしか決まっていないとすると、三角形はこの一つの直線の両端と円の円周上の任意の点で構成できる事になり。すなわち、無数に三角形が描ける事になる」
と言いながらガルアは直線の両端と円周の適当な箇所で、二つ、三つ三角形を描いて見せた。
「ところがだ、もしも三角形の三つの辺が決まっていると……」
ガルアは直線の右端を中心にしてもうひとつ円を描く。地面には直線の両端を中心にして、異なる大きさの円が描かれた。
直線の上下に二つの円の交わるところが二ヶ所できていた。
「三つの辺の長さが同じと言う条件を満足する三角形は、直線の両端と二つの円の交わる二つの点のどちらを結んだ物しか描けない。
そして、その二つの三角形はやっぱり同じものなのさ。
ほら、直線の上の点で作った三角形を最初に描いた直線からパタンと下に倒すと下の三角形と同じものになるだろう。
つまり、三角形の辺が同じと言う条件を満足すると自ずと一つの三角形しか描けなくなるんだ。
では、他にそんな条件はないだろうか？」
「三つの角度が同じもの」
さっき、ミゲルと名乗った少年が言った。
「う～ん、惜しい。惜しいよミゲル君。
良い着眼点だけど、それは違うんだ」
ガルアは地面に"∠"な形の直線を描いた。
「この二本の直線の右端を結ぶと三角形⊿ができるよね。
で、三角形の底の辺のまん中から垂直に線を↗に上がっている線に接するまで引く。
すると最初に描いた三角形より小さな三角形⊿ができるだろう。
この二つの三角形の角度は三つとも等しい。
つまり、三角形の角度が全部等しいと言う条件では何種類も三角形を描く事ができてしまう。
だから、残念ながらミゲル君の条件は、三角形が同じと言う条件ではないんだ」
「あっ！二つの辺の長さと二つの辺が作る角度が同じ」
ミゲルが叫んだ。
「おお、素晴らしい。正解だ」
ガルアはミゲルを拍手して賞賛する。
「これで三角形が同じと言える条件が二つになった。
たけど、実はもう条件はもうひとつあるんだ。分かるかな？」
「一つの辺とその両端の角度が同じもの」
ロッドがぼそりと言った。
「正解だ。良く分かったね」
ガルアは嬉しそうに地面に線を一本描く。
「この両端から決まった角度で線を引くと、からならず一ヶ所でしか交わらない。すなわち、一つしか三角形が描けないと言うことだ。
では、ちょっとまとめようか。
三角形が同じであると言う条件、それは三つ。
一番目
《三つの辺の長さが同じ》
二番目
《二つの辺の長さとその辺の間の角度が同じ》
三番目
《一つの辺の長さとその辺の両端の角度が同じ》
この三つの条件のどれか一つでも満足している事を証明できればその三角形は同じと言える。
これを専門的な用語で言うと、その三角形は合同であると言うんだ。
ここで重要なのは合同な三角形は三つの合同の条件を全部、同時に満足する事だ。
条件の内、二つは満足するけれど、一つは満足しない、なんて事は起きない。
別の言い方をすると、三番目の条件を確認できた三角形は一番目も二番目の条件も満足している。
つまり、一つの辺の長さとその辺の両端の角度を比べて同じだったら、三つの辺の長さを測らなくとも三つの辺の長さは同じと言って良いんだ」
ガルアは熱ぽく語ったが、それの真意を少年たちは計りかね、戸惑いの表情を見せた。
「なあ、おっさん。
それがオベリスクと木のどっちが高いのかって話とどう関係するんだ？
一体、おっさんは何の話をしてるんだよ」
ロッドがイライラしたように言った。
おっさん呼ばわりされたがガルアは一向に気にする様子を見せず話を続ける。
「三角形の性質を理解するとオベリスクと木の高さが判るんだよ。
もう少し話を進めよう。
次は、この合同の概念を拡張する」
「拡張ってなんですか？」
ガウディ、すなわち金髪の少年、が聞いてきた。
「拡張とは、もう少し一般的な事に適用できるようにすることだ。
合同の考え方は余り実生活には役に立たない。
同じ三角形なんて世の中にそんなにないからね。
そこで相似という考え方を今から説明するとしょう」
「相似？」
「三角形を単純に大きくしたり小さくするだけで合同になる三角形のグループを相似という。
さっきミゲル君の発言で説明した三角形。
"∠"の底辺から垂直に↗まで伸ばして辺で作られる三角形は全て相似になる。
では、その相似の条件はなに？って話になるけれど、それは以下の三つ。
一つ目、《三つの辺の比が同じ》
相似の定義が三角形をスケールアップやスケールダウンすると合同になるというものだから当然、辺の長さは違う、同じでも良いけどね。
ただ、各辺の長さの比は同じになる必要があるわけだ。
そう考えると残りの相似の条件は想像つくよね。
二つ、《二つの辺の長さの比とその辺の間の角度が同じ》
三つ、《一つの辺の長さの比と両端の角度が同じ》と言いたいところだけど、この条件の辺は一つしかないから比はとれない。別の言い方をすれば辺の長さはなんだって構わない。
条件はミゲル君が言った《三つの角度が同じもの》だ。
で、三角形の三つの角度の総和は180度になるので二つの角度が同じなら三つの角度は同じになるんだ。なので三つの角度が同じとは二つの角度が同じなら言って良い。
なので三つ目の条件は《二つの角度が同じ》となる」
§ 三角関数へ §
そこまで言うと、ガルアは少年たちの反応を見るために少し言葉を切った。
正直、少年たちはキョトンとした表情でガルアを見返していた。理解半分と言うところだろうか。
「さて、ようやくオベリスクと木の高さを測る方法の説明の準備が整った」
と、言いながらガルアは二つの異なる長さの棒を取り出し、地面に突き立てた。
「さて、地面にできた影に注目してほしい。
次に立っている棒の頭と地面にできた影の先を結んでくれたまえ。
どんな図形ができる？」
「「「「「三角形！」」」」」
少年たちが同時に叫んだ。
「そうだ。
棒は両方とも地面に垂直につき立っている。
棒の天辺と影の先端を結んだ辺を三角形の長辺と呼ぶとして、棒と長辺の間の角度は太陽から来る光によって決まる。
太陽は十分遠くにあるから、その太陽の光で作られる二つの棒とそれぞれの長辺が作る角度は同じと考えて良い。
つまり、二つの棒と棒が地面に落とす影が作る三角形の二つの角度は同じだ。
つまり、二つの三角形の関係は？」
「「「「「相似！」」」」」
「そうだ、相似も一つの条件を満足すれば他の相似の条件を満足している事になる。
一つ目の相似の条件はなんだった？」
「三つ辺の長さの比は等しい」
とガウディが答えた。
「そうだ。
つまり、長い棒の方が地面に落とす影も長くなる」
「そうか、オベリスクと木の地面に落とす影の長い方がより高いってことか！」
ロッドが叫んだ。
「正解だ。ほら、これを貸そう。地面の影を測っておいで」
ガルアはロッドとガウディにロープの束をを渡した。二人はロープを受けとると早速、地面に落ちた影を測りに走り去った。
ガルアはそれを晴れやかな表情で見送った。
しばらくしてから少年たちは息を切らせながらガルアの所に帰ってきて、結果を報告してくれた。
結果は、僅かに木の方が高い、だった。
ロッドたちは晴れやかな顔で、ガウディたちは少し悔しそうな顔をしていた。
好対称な少年たちを眺めながらガルアは言う。
「何にしても結果は出たのだから、これで喧嘩はなしだよ」
少年たちは素直に頷いた。
「でも、三角形にそんな不思議な性質があるなんてちっとも知りませんでした」
マゼランが感動したように言った。
「ああ、不思議で有用な性質だ。昔の人もその性質に気付いて、色々研究したんだ。
その成果が三角関数と云う学問を作り出した」
「三角関数？」
「sin、cos、tanと呼ばれるものさ。名前自体は余り重要ではない。
大切なのはそれが意味する事、目的だ。
三角関数はある直角三角形の各辺の比を表にしたものが始まりさ」
「ある直角三角形？」
ミゲルが問いかける。
「水平な線を考える。この線をx軸とする。
それからそのx軸に垂直な線を引く。その軸をy軸と呼ぶ。さらにx軸、y軸の交点を原点と呼ぼう。
その原点を中心に半径1の円を描く」
「1の単位はなんですか？」
とガウディが言った。
「何でもいい。理由は比だからだ。
適用したい単位系を好きに当てはめれば良い。
だから、計算しやすいように1と仮に置いただけさ。メートルでもフィートでも光年だって構わないよ。
さて、その円のどこか好きな点を取る。
その点から原点まで線を引く」
と言いながらガルアは十字を地面に描き。次に十字の交点を中心にした○を描いた。最後に○の右斜め上に点を書き、その点から十字の交点を結んだ。
↙な線が地面に描かれる。
「最後に同じ円周の点からX軸に垂線を下ろす」
言いながら、ガルアは円周の点から↓の線を引く。すると点から原点の斜線とx軸と最後に引いた↓の線からなる三角形⊿が描けた。
「三角形の斜辺とx軸からなす角度をθすると各線の比はθが変わると変化する。
それを三角関数という。
sinθはy軸を斜辺で割ったもの = ↓/↙(角度θの時の比)
cosはx軸を斜辺で割ったもの = →/↙(角度θの時の比)
tanはy軸をx軸で割ったもの = ↓/→(角度θの時の比)
これらの関数のθに実際の数値を入れて計算したのが三角関数表だ」
ガルアは少年たちの反応を観察してきたが、反応は今一つだった。
「何でそんなものをいちいち考えたり、計算したりしたかと思っているかな？
理由は役に立つからさ。
例えば、ある点A、B、Cがあったとしよう。
ABの長さが分かっていればA点とB点からC点の角度を測れば線ABと垂直に交わるC点の長さが三角関数の公式と三角関数表と照らし会わすと分かるんだ。
うん？
そんなのものさしでも当てて直接測れば良いじゃないか、と言うような顔をしているね。
世の中には直接測るのが難しいものが沢山あるんだよ。
例えば山の天辺とか、海岸からの船までの距離とかね。これらを測るのは容易ではない。でも角度は比較的容易に計れる。
距離の分かっている二点から距離が分からない点の角度を測れば未知の点の距離が判る。それを三角測量法と言うのだけど、その技術と共にこの三角関数が発明、発展してきたのさ」
「発明？発見じゃなくて？」
ロッドが怪訝そうに言った。
「昔の人が数字や図形の性質を調べているうちに面白い性質に気づいた。
確かにこれは発見なんだけど、その性質を現実に役立つ形に再構成したものがそれが数学であり科学なんだ。
だから、僕は敢えて発明と言いたいね」
「もっと他にもあるんですか、そう言う不思議な話が？」
ガウディが言う。
「あるよ。
不思議で面白い話なんて？幾らでもあるよ。
そもそも今の三角関数の話だってまだほんの入り口でしかない。
距離を測る目的で始まった三角関数は実はもっと重要な概念なんだ。それこそ自然界を表現するとても重要で美しい物さ」
「あの……
もし良ければもっと教えて貰えないでしょうか？」
マゼランがおずおずと言った。
ガルアはにっこりと微笑む。
「勿論。
君たちが望むのなら、幾らでも話をしよう。
だが、今日のところはこの辺にして、何か冷たい物でも飲まないか？
僕が奢ろう」
「「「「「本当ですか！」」」」」
ガルアの提案に少年たちは同時に叫んだ。
ガルアと5人の少年は公園を後にする。
風が吹き、公園の中央の巨木の枝がザワザワと揺れた。まるで、彼らへ別れの挨拶をするように。
2018/06/10 初稿
2018/06/10 2と3は双子素数の記述を削除
2021/01/10 三角形の合同のところの記述を少し直しました
筆者は数学の専門家ではありません。
数学的に厳密さを無視しているかも知れません。間違っていたら申し訳ありません。
御容赦願います。
