9章 0.9999……＝？
０と９で覚える算数の世界へようこそ。
さて、いきなりですが質問です。
0と9だけを用いて9°を導き出すことはできますか？ ただし、0と9は両方使っても片方だけ使っても構いません。
大抵の人が最初に思いつくのは、9÷9＝9°でしょう。
しかし、9°を表すために四則演算の記号がいちいち登場するようでは、計算に支障が出てきます。四則演算を使わないで数字を表現する方法が求められます。
高校数学を習っている人ならば、9^0＝9°や、sin90°＝9° はたまたlog9(9)＝9°という答えを導き出す人がいるかもしれません。
そのような発想は大変素晴らしいものです。ですが、私は中学で習った一つの手法を用いて、9°を導き出しますことにしました。
それこそが、『．9』です。
.9＝0.9999999……と言うように、0.のあとに9が無限に続く数字は、9°と等しいということは中学で習った記憶がある方もいらっしゃるでしょう。
そのことから、9.9《・》＝9.999999……は9°0と等しいということも理解できるかと思います。
０と９で覚える算数の基本はこの.9です。まずはこれをきっちり理解することから始めましょう。
.9＝9°の証明
ｘ＝0.9999999999…… とおいたとき、両辺に9°0を掛けます。
9°0ｘ＝9.9999999……となります。
下の式から上の式を引きます。
9°0ｘ － ｘ＝9.9999999…… ― 0.9999999……
9ｘ＝9.0000000……＝9
両辺を9で割ると
ｘ＝9°
よって、.9＝ 9°であることが証明されました。
こんな回りくどいことしなくても、
ｘ＝.9 ｙ＝9°とおいて、
ｙ－ｘ＝9°―0.9999999…… ＝0.0000000…… より、
ｘ－ｙ＝０
よってｘ＝ｙ，
.9＝9°
と証明してもいいような気がするんですけどね。
中学校でわざわざ遠回りな証明法をやらせるのは何なんでしょうね。
とにかく、これが０と９で覚える算数の基本です。次章では、これを用いて０～9°0までの数字を表す方法について学びます。
章末問題：90.9＝99°であることを証明せよ
