コラッツ予想（２７）現象の詳細を数列的に完全解説

作者：明日香狂香

　m=3n+1

　は

　m=-(3(-n)-1)

　-m=3(-n)-1

　となり

　Nをnの補数とすると

　3N-1

　となる。

　２で割ることをやめると

　3N-2^x

　xは右端の１の位置

　と変形できる。

　^は乗数であることを表す。

　収束乗件は

　-(2^y)

　つまり

　左の１の数字列と右の０の数字列に分離されれば終了となる。

　110011

　のような場合、補数表示で

　111001101

　とする。

　有限桁にするため左には３個以上の１をつめておく。

　有限桁にすることで

　-2^x

　は３倍で最上位の発生する０との入れ替えとみることができる。

　２進数での１回の３倍の特性

　１．１回の操作で１の数が左側へコピーされ２倍に増える。３＝２＋１。

　２．同じ桁の１同士の繰り上がりにより１の増加は抑制される。

　３．上記２つの結果から、０と１の境界面で反転が起こったように見える。

　４．反転により、境界面が増えることで、連続する０または１は分断されてく。

　５．上記の特性により、０と１で少ないほうが増加し、多いほうが減少する。

　６．桁の増加は平均１．５個。

　奇数の複数回での３倍の特性

　１．繰り上がりがなければ、連続する１のほうが連続する０より発生しやすい。

　２．下位の桁では、繰り上がりにより連続する０が発生しやすい。

　３．下位の桁の連続する０の数の増加は３倍の回数の1/4以下である。

　４．３の２乗＝２の３乗＋１＝１００１なので、下位の桁では連続する１は発生しにくい。

　５．３の１乗＝２の１乗＋１＝１１なので、下位の桁では２つの連続する１は一回置きに発生する。

　６．２の２乗の桁は変化しないので１の場合には２つの連続する１は３つの連続する１になるとともに、連続する０も発生しなくなる。

　７．下位の桁の連続する０の数はループせず、徐々に増えていく。

　有限桁補数での１回の演算による効果

　１．末端の連続する数は減少する。

　２．末端の連続する数の減少は０が１個、１が２個で、平均１．５個。

　３．右から２番目の１から始まる低位の桁では、末端に連続する０の個数分だけ３が掛けられる。

　４．上記の事から右から２番目の１から始まる低位の桁では、連続する０が発生しやすいので、先頭の０と末端の１の距離は長くなる傾向にある。

　複数回での演算による効果

　１．右から２番目の１から始まる低位の桁の連続する０の数の増加は３倍の回数の1/4以下から、末端にあらわれる０の連続する長さは急速に減っていく。

　２．上記のことから０と１が混在することで繰り上がりにより、右の１と左の０の入れ替えが多く発生する。

　３．連続する０の長さは急速に減っていくことと、末端に２つまたは３つの連続する１は発生しやすいことから、操作を繰り返すとやがて先頭の０と末端の１の距離は短くなる。

　繰上げの効果からループすることなく、０が右に、１が左に分離する。

追記

ループしないのは０１１の場合に末端の１が3桁移動するので、3倍の2^2のピット不変の周期性が失われるためである。