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九章算術と開平方

九章算術とその註を読むと数学記号の制定がどれほど重要であったかすぐに理解できるだろう。劉徽による註部分で円周率を求めるところを抜き出してみよう、「以一百九十二觚之冪為率消息、當取此分寸之三十六、以增於一百九十二觚之冪、以為圓冪、三百一十四寸二十五分寸之四（以下省略）」、こんな感じだ、ハゲそう。

さて、円周率もだが開平方も土木工事に重要である、五帝本紀を見るにあの国は神代から治水に熱心でそしてお家芸の粛清などが飛び交うくらいだ、どこかの第一次北伐の大戦犯（※スラング的用法）が名を挙げた鯀とか（張郃の降伏のときのように難しい感じの事だと思うが、向朗傳の感じからするとまぁ敗戦ではないところの問題だったのではなかろうか……）。彼らが用いていた開平方は意外なほどに不便だ。平方根を求めたい正の実数Rがa**2 + bで書かれるとしよう。彼らはRの平方根がa + b/2aで近似できるとした。

これの導出は単純だ。f(x) = x**1/2としよう。a**2付近で展開すると

f(a**2 + x) = a + x/2a + Ο(x**2)

ということだ。展開の都合上、bが小さいときは精度がいいが、そうでないときの精度は落ちる。a**2はaが大きくなるほどa**2と(a - 1)**2の差が大きくなるため大きい数には向かない。しかしまぁうまいこと中身を分割すればこの方法だけでもよいのだろう、ただし手間はかかる。古代の数学に用いられていた近似法の導出は結構面白いので必修じゃない大学の授業であってもよいのではと思った。人文科学のひとでも楽しく数学を学べるのではないだろうか。

あとこのスタイルのエッセイをやっていくうえで数式エディターがほしいと思った。別にMS wordとかにあるようなやつでいいからさ。