平方剰余の第１補充法則の独自の証明

前に独自で見つけた平方剰余の第１補充法則の新しい証明を紹介します。ただ、僕がしっているだけでも第一補充法則の証明はオイラーやガウス等簡単なものがあるからあまり意味ないかもしれないし、すでに誰かが見つけている可能性もあるかもしれませんが、せっかくなので投稿します。

１＾２、２＾２、３＾２、・・・、（（ｐ－１）/２）＾２

はすべて平方数であり、これ以上素数ｐに対して平方剰余がないのは合同式の性質からわかる。

ここで、ルジャンドルの記号を使い。

（１＾２/ｐ）、（２＾２/ｐ）、（３＾２/ｐ）、・・・、（（（ｐ－１）/２）＾２/ｐ）

はすべて平方数なので＋１

ここで４ｎ＋１の形の素数はー１の数が２ｎ個なのでウィルソンの定理を使ったうえで（－１/ｐ）＝＋１

同様に、４ｎ＋３の形の素数はー１の数が２ｎ＋１個なので（―１/ｐ）＝－１がわかる。

より、平方剰余の第１補充法則の証明が完了した。