自然数と同値の無限級数を用いた展開について

作者：のぶ

【お詫び】

定義に修正を必要とする不備がありました。修正できました。

ご指摘いただいたbanoさんありがとうございます。

はじめに

この試論では、自然数を無限級数により同値の表示で展開する方法を導入する。この無限級数展開を無限接続法と仮の命名する。

定義

nを自然数として、

n＝a(n)＋a(n^2)＋a(n^3)＋・・・＋a(n^m)＋・・・

として表現する。なお、ここでmは1以上の自然数。

つまり、

2＝a2＋a4＋a8＋・・・a2＾n＋・・・

となる。

ここで、

4＝a4＋a16＋a64＋・・・a4^n＋・・・

となる。ここで特筆に値するのは、2番目の式は最初の式の部分集合にもかかわらず最初の式より値が大きくなるということ。

ここで最初の式から2番目の式を引くと、

―2＝a2＋a8＋a32＋・・・a2^（2n―1）＋・・・

が得られる。

ここで、

2＝a2＋a4＋a8＋・・・＋a2＾n＋・・・

をa2で割り続けてみましょう。

なお割り算はa(n)/a(m)=a(n/m)で定義されるものとする。

a2＋a4＋a8＋・・・＋a2＾n＋・・・

＝a1＋a2＋a4＋a8＋・・・＋a2^(n―1)＋a2^n＋・・・

＝a(1/2)＋a1＋a2＋a4＋a8＋・・・＋a2^(n―2)＋a2^(n―1)＋a2^n＋・・・

＝a(1/4)＋a(1/2)＋a1＋a2＋a4＋a8＋・・・＋a2^(n―3)＋a2^(n―2)＋a2^(n―1)＋a2^n＋・・・

＝・・・＋a(1/2^n)＋・・・＋a1/2＋a1＋a2＋・・・a2^n＋・・・

＝1/2＋2＋a1＝5/2＋a1

となり、2をa2で無限に割った値は5/2＋a1に収束する。

【お断り】

形式は短編小説を採用します。何か研究やっている人ならすぐわかると思いますが、これがおいしいリンゴジュースの材料になるかはわかりませんので、行き詰った時連載小説を採用していたらエタるので。ここは編集が効くので何か新しく発見次第編集します。