フェルマーの最終定理、まとめ。
まとめ。
3 以上の自然数 n について、
x＾n + y＾n = z＾n となる自然数の組 (x, y, z) は存在しない、
という定理の証明。
◎奇数（素数）の場合
奇数は、全部、素数の倍数になっているので、
素数の場合だけ、証明すればいいので。
(A＾Pは、AのP乗という意味）
フェルマーの小定理より
Pを素数とするとき、
α＾P － α ≡ ０ （mod P)
（ただし、αとPは、互いに素、つまり、P を素数とし、α を P の倍数でない整数とする）
ｎが素数のとき
ｎ ＝ P として
x＾n + y＾n = z＾n を変形すると
X＾P ＋ Y＾P ＝ Z^P を変形して下の式のように変形する。
X＾P － X ＋ Y＾P － Y ＋ X ＋ Y ＝ Z＾P － Z ＋ Z
フェルマーの小定理より、
Pが素数の場合、
α＾P - α の形のものは、Pで割り切れるので
Pの倍数になる。
（ただし、αとPは、互いに素、つまり、P を素数とし、α を P の倍数でない整数とする）
ゆえに
X＾P - X ＝ PA , Y^P - Y = PB , Z^P - Z = PC とおくと、
PA＋PB＋X＋Y ＝ PC ＋ Z
P（A＋B－C） ＝ Z -X -Y
A＋B－C ＝ Z/P -X/P -Y/P
フェルマーの小定理より
X≠P,Y≠P,Z≠ｐで、XもYもZもPの倍数ではない。
ゆえに
（A、B、Cは、自然数なので、Z, -X, -Y,がPで割れないと 自然数にならないので、
式が成り立たない。）
∴
3 以上の自然数 n について、
x＾n + y＾n = z＾n となる自然数の組 (x, y, z) は存在しない、
という定理の証明。
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◎（αP）＾Pの場合
（αP）^P の場合は、
フェルマーの小定理は、あてはまらない。（αは、自然数、Pは素数）
なので、
（αP）＾Pの場合も証明する必要がある。
X,Y,Zが、全部、Pの倍数の場合。
X＝aP,Y=bP,Z=cPと置くと、
(aP)^P + (bP)^P = (cP)^P
(a^P)(P^P) + (b^P)(P^P) = (c^P)(P^P)
a^P + b^P = c^P
になるので、
フェルマーの小定理が当てはまる場合と同じである。
（αとPは、互いに素。つまり、P を素数とし、α を P の倍数でない整数とする）
X,Y,Zのうち、一つでも Pでも Pの倍数でないものがある場合も
x＾n + y＾n = z＾n式が成り立たない。
（フェルマーの小定理より、フェルマーの小定理が当てはまる場合のように
Pで割り切れないものがでてくるから）
∴
X＾P、Y＾P、Z＾Pのどれかが
（αP）＾Pの場合にも
X＾P、Y＾P、Z＾Pのすべてが
（αP）＾Pの場合にも
3 以上の自然数 n について、
x＾n + y＾n = z＾n となる自然数の組 (x, y, z) は存在しない。
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◎ｎが、偶数の場合
フェルマー自身が、ｎ＝４のときの証明をしていて、
偶数については、
3 以上の自然数 n について、
x＾n + y＾n = z＾n となる自然数の組 (x, y, z) は存在しない。
と
証明されている。
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ゆえに
奇数でも偶数でも
3 以上の自然数 n について、
x＾n + y＾n = z＾n となる自然数の組 (x, y, z) は存在しない、
と
証明できました。
© june 2017 かなえる（ニックネーム）
前の証明は、間違っていましたが、
今度は、大丈夫だと思います。
証明が、あっている場合も
間違っている場合も
コメントで、ご指摘いただけると、助かります。
