フェルマーの最終定理の別の証明
P＾Pの場合の別の証明と
新フェルマーの最終定理の証明を一つにまとめました。
3 以上の自然数 n について、
x＾n + y＾n = z＾n となる自然数の組 (x, y, z) は存在しない、
という定理の証明。
◎奇数（素数）の場合
奇数は、全部、素数の倍数になっているので、
素数の場合だけ、証明すればいいので。
(A＾Pは、AのP乗という意味）
フェルマーの小定理より
Pを素数とするとき、
α＾P － α ≡ ０ （mod P)
（ただし、αとPは、互いに素、つまり、p を素数とし、α を p の倍数でない整数とする）
ｎが素数のとき
ｎ ＝ P として
x＾n + y＾n = z＾n を変形すると
X＾P ＋ Y＾P ＝ Z^P を変形して下の式のように変形する。
X＾P － X ＋ Y＾P － Y ＋ X ＋ Y ＝ Z＾P － Z ＋ Z
フェルマーの小定理より、
Pが素数の場合、
α＾P - α の形のものは、Pで割り切れるので
Pの倍数になる。
（ただし、αとPは、互いに素、つまり、p を素数とし、α を p の倍数でない整数とする）
ゆえに
X＾P - X ＝ PA , Y^P - Y = PB , Z^P - Z = PC とおくと、
PA＋PB＋X＋Y ＝ PC ＋ Z
P（A＋B－C） ＝ Z -X -Y
A＋B－C ＝ Z/P -X/P -Y/P
フェルマーの小定理より
X≠P,Y≠P,Z≠ｐで、XもYもZもPの倍数ではない。
ゆえに
（A、B、Cは、自然数なので、（Z -X -Y）がPで割れないと 自然数にならないので、
式が成り立たない。）
∴
3 以上の自然数 n について、
x＾n + y＾n = z＾n となる自然数の組 (x, y, z) は存在しない、
という定理の証明。
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◎P＾Pの場合
P^P の場合は、
フェルマーの小定理は、あてはまらない。
（Pは、素数。P＾Pは、PのP乗という意味。）
なので、
X＾P、Y＾P、Z＾Pが、P^Pの形の場合も
3 以上の自然数 n について、
x＾n + y＾n = z＾n となる自然数の組 (x, y, z) は存在しないことを
証明する必要がある。
●３＾３の場合
３＾３＝２７
４＾３ － ３＾３ ＝３７ ＞ ２７
２＾３ ＋ ２＾３ ＝１６ ＜ ２７
●４＾４の場合
４＾４ ＝ ２５６
５＾４ － ４＾４ ＝ ３６９ ＞ ２５６
３＾４ ＋ ３＾４ ＝ １６２ ＜ ２５６
●５＾５の場合
５＾５ ＝ ３１２５
６＾５ － ５＾５ ＝ ４６５１ ＞ ３１２５
４＾５ ＋ ４＾５ ＝ ２０４８ ＜ ３１２５
ゆえに
X＾P、Y＾P、Z＾Pのどれかが、P^Pの形の場合
x＾n + y＾n = z＾nの式は成り立たない。
しかも
Pが大きくなるにしたがって、
P＾Pより 大きい場合の最小の差も
P＾Pより 小さい場合の最小の差も 大きくなっている
（差に ＋１して （P＋１）をかけても 次の差のほうが大きい）
∴
X＾P、Y＾P、Z＾Pのどれかが
P＾Pの場合
3 以上の自然数 n について、
x＾n + y＾n = z＾n となる自然数の組 (x, y, z) は存在しない。
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◎ｎが、偶数の場合
フェルマー自身が、ｎ＝４のときの証明をしていて、
偶数については、
3 以上の自然数 n について、
x＾n + y＾n = z＾n となる自然数の組 (x, y, z) は存在しない。
と
証明されている。
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ゆえに
奇数でも偶数でも
3 以上の自然数 n について、
x＾n + y＾n = z＾n となる自然数の組 (x, y, z) は存在しない、
と
証明できました。
© june 2017 かなえる（ニックネーム）
前の証明は、間違っていましたが、
今度は、大丈夫だと思います。
証明が、あっている場合も
間違っている場合も
コメントで、ご指摘いただけると、助かります。
