伊達と富澤の数学教室コント 第5弾 ～有理数と循環小数の秘密～
（舞台には黒板。伊達はなぜか割り箸を持っている。富澤は「i」と書かれたTシャツを着ている。）
伊澤: どうもー！サンドウィッチマンでーす！前回は「虚数単位i」で数の世界を広げたわけだが！
富澤: （Tシャツを指さし）はい！2乗するとマイナス1になる、不思議なヤツっすね！
伊澤: そうだ！今回はな、その「i」の世界に行く前に、まずは基礎中の基礎！「有理数」ってやつを、もっと深く掘り下げていこうと思う！
富澤: 有理数！分数で表せる数、ですよね？
伊澤: その通り！でもな、その前に、お前、整数ってどんなものがあるか覚えてるか？
富澤: 整数…えーと、1とか2とか3とかの正の整数！別名「自然数」ってやつ！
伊澤: そう！で？
富澤: あと、マイナス1とかマイナス2とかの負の整数！マイナス1が一番大きくて、どんどん小さくなっていくやつ！
伊澤: よし！で？一番大事なやつが残ってるぞ？
富澤: えーと…ゼロ！正でも負でもない、特別なヤツ！
伊澤: そう！整数は、この**「正の整数」「負の整数」「ゼロ」** の3つに分類されるんだ！まずこれをしっかり思い出しておけよ！
有理数の定義と例
伊澤: さあ、この整数を使って、有理数を定義するぞ！富澤さん、有理数ってなんだ？
富澤: 二つの整数mとnを使って、「n分のm（分数）の形で表される数」ですよね！
伊澤: その通り！ただしな、数学で一番大事なルールがあるぞ！分母のnは、絶対にゼロになっちゃダメだ！ これ、今後もずっと守られる鉄則だからな！普段意識しなくても、分母がゼロになったらアウト！
富澤: はい！了解っす！
伊澤: よし！じゃあ、有理数の例を見ていこうか！まず「3/4」。これは紛れもなく有理数だよな？
富澤: はい、整数3と4で表されてますね！
伊澤: じゃあ、ただの「2」はどうだ？これは分数じゃないだろ？
富澤: （考える）あ！これ、1分の2って書けますね！
伊澤: そう！お前、天才か！「1分の2」って見れば、整数1と2で表されてるだろ？だから「2」も有理数だ！
富澤: よかった！
伊澤: じゃあ、「-1/3」はどうだ？マイナスが入ってるぞ？
富澤: マイナス…でも、整数ってマイナスもOKでしたよね？だから、分子をマイナス1、分母を3って考えれば…これも有理数ですね！
伊澤: その通り！マイナスも吸収できるんだ！じゃあ、「0.4」はどうだ？これは小数だぞ？
富澤: 小数…でも、これも分数にできますよ！10分の4ですよね！
伊澤: そう！よく分かってるな！でもな、お前、10分の4でそのままにしとくか？
富澤: いや！約分して5分の2にしますね！
伊澤: そう！普段そうするだろ！なんでだと思う？
富澤: うーん…？
伊澤: そうしないと、「0.4は10分の4だ！」も正しいし、「0.4は5分の2だ！」も正しいし、正しいことが無限に存在しちゃうんだ！それを防ぐために、これ以上約分できない分数の形にしておくことが多い！これを「既約分数」って言うんだ！
富澤: 既約分数！覚えます！
伊澤: よし！何も断りがない時は、最後は必ずこの既約分数で答えるのがルールだ！
有限小数と無限小数（循環小数）
伊澤: さあ、もうちょっと世界を広げていこうか！「小数」の種類についてだ！まず「有限小数」！さっきの0.4がそうだ。小数第何位かで、ピタッと終わって割り切れる小数だな！
富澤: 0.75とかもそうですよね！3割る4で終わりますもんね！
伊澤: その通り！じゃあ、次に来るのは「無限小数」だ！これは、小数部分が永遠に続く小数だ！代表的なのは？
富澤: 3分の1ですね！0.33333…ってずっと続きます！
伊澤: そう！あるいは「37分の4」みたいに「0.108108…」って続くやつもあるな！でもな、無限小数の中には、もう一個、特別なやつがいるんだ！
富澤: え？
伊澤: それが「π（パイ）」だ！3.14159265…って、これも無限に続く小数だが、さっきの3分の1とかと何が違う？
富澤: あ！3分の1は「3」がずっと続いて、37分の4は「108」がずっと繰り返されてるけど、パイは特に規則性がない！
伊澤: その通り！無限小数の中でも、ある位から同じ数字の並びが繰り返される小数を「循環小数」って言うんだ！
富澤: じゃあ、3分の1とか37分の4は循環小数で、パイは違うってことですね！
伊澤: そう！循環小数ってのはな、繰り返されることが分かってるから、簡単な表し方があるんだ！例えば「0.333…」は「0.3」って書いて「3」の上に点をつける！
（黒板に「0.
dot3」と書く）
伊澤: 「0.108108…」は、「0.108」って書いて、「1」と「8」の上に点をつけるんだ！
（黒板に「0.
dot10
dot8」と書く）
伊澤: こう書かれてたら、繰り返されてるんだなってわかるだろ？
有理数と小数表現の関係
伊澤: さあ、そして、一般に次のことが知られている！実はな、「有理数（分数で表せる数）」ってのは、必ず**「整数」か「有限小数」か、または「循環小数」のどれか**になるんだ！
富澤: へー！割り切れるか、規則的に繰り返されるか、ってことっすか！
伊澤: そう！で、逆に、整数、有限小数、循環小数は、必ず分数で表せる！結果的に、もちろん有理数だ！
富澤: なるほど！有理数と、この3つの小数の形は、イコールってことですね！
循環小数を分数に変換する
伊澤: よし！じゃあ、さっそくこの知識を使って、循環小数を分数で表してみようじゃないか！
伊澤: 「X = 0.518518…」っていう循環小数があるだろ？これを分数にするぞ！
富澤: うわ、どうするんすか、これ。
伊澤: まずな、この「0.518518…」を「X」とおくんだ！そして、循環してる部分、今回は「518」の3桁分だろ？
富澤: はい！
伊澤: その桁数分、「10」をかけるんだ！3桁だから「10の3乗」、つまり1000倍するんだ！
富澤: 1000倍！
伊澤: そうすると、「1000X = 518.518518…」ってなるだろ？小数点以下の「518518…」の部分が、Xと全く同じになるんだ！
（黒板に書く）
1000X = 518.518518...
X = 0.518518...
伊澤: さあ、ここでどうすると思う？
富澤: （電卓をいじり始める）えーと…
伊澤: 電卓使うな！上から下を引き算するんだよ！
富澤: 引き算！
伊澤: そうすると、どうなる？
1000X = 518.518518...
- X = 0.518518...
--------------------
999X = 518
伊澤: ほら！小数点以下の「518518…」っていう永遠に続く部分が、上も下も同じだから、全部消えてなくなるだろ！？
富澤: うわっ！ホントだ！消えた！スゲェ！
伊澤: 残るのは「999X = 518」だけだ！あとはXを求めればいい！両辺を999で割るんだ！
富澤: じゃあ、X = 518/999 ですね！
伊澤: その通り！これは約分すると「14/27」になるんだが、ここは今は覚える必要はない！大事なのは、循環小数は、循環している桁数分だけ10をかけて、元の数を引けば、分数にできる！ ってことだ！
富澤: 納得しました！これで、整数も有限小数も循環小数も、全部分数で表せるってことが、証明されましたね！
伊澤: そうだ！お前もこれで、有理数のプロフェッショナルだな！今日の授業はここまで！
富澤: ありがとうございましたー！
伊澤: どうもー！
（二礼三拍手）
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