番外編12 数字で遊ぶ日常②
会話文多めです。読んでいて誰が話しているか混乱しないようお気を付けください。
Side レオン・カール
放課後の勉強会の休憩は続く。カティアがこんなことを思いついた。
「さっきユウが4つの9で10を作ると言っていたけど、4つの9で作れる一番大きな数は何なのです？」
「それは、9×9×9×9じゃないの」
すぐにシェーラが答える。四則演算とかっこだけならその通りだ。と、そこでユウが立ち上がる。
「9×9×9×9は…6561だね。ってことは、ただ9を4つ並べて9999にした方が大きいね！」
「た、確かにそうなのです…」
「ふふふ、本当ね」
大きな数を作るという話は地球にも存在した。巨大数という分野で、いかに著しく増加する関数を作れるかということを考える数学が存在するのだ。グラハム数というものは『数学の証明に用いられた最も大きな数』として有名だ。無量大数とは比べ物にならない、桁数を普通に表現することすら不可能な巨大数である。
「あっ！授業で習った指数を使えば、もっと大きな数が作れるのです。999^9なのです」
（筆者注:a^bで『aのb乗』を表します。999^9は『999の9乗』です）
「それなら9^999の方が大きいぞ」
俺は立ち上がってチョークで黒板に数式を書き並べる。
「999^9は999を9回かけたものだ。一方、9^999は9を999回かけたものだな。この999個の9を111個ずつグループに分けよう。すると、9^999は『9^111の9乗』と見ることが出来る。
すると今、999^9も（9^111の9乗）も、何らかの数の9乗だ。どちらが大きいか比べるには、9乗されている数の大小を比較すればよい。さて、9^111は999より大きいのか？」
「あっ、最初に9×9×9×9=6561ってやったのです。9の4乗の時点で999より大きいから、9を111乗したら999よりずっとずっと大きくなるのです」
やはりカティアはこういった数字に強いようで、こちらが気づいて欲しいことにすぐ気づく。
「ああ、その通りだな」
「なるほど、よく分かったわ。9^999の方が圧倒的に大きいのね。じゃあ、99^99は999^9と9^999の間になるのかしら」
「そうだな。基本的に何乗かされる数を大きくするより、指数を大きくする方が、数はより早く増大するっっていうのは覚えておくといいかもしれないな」
「じゃあこれが一番大きな数ってことだね。これは何桁の数なんだろう」
ユウは桁数が気になるようだ。今回は、おおよその桁数が簡単に分かる。
「そりゃあ、9^999は10^999と近いと考えれば、1000桁行かない程度だろうと計算しないで分かる」
「ん？10^999は999桁じゃないの？」
「ユウよ、10の1乗は何桁だ？」
「え、2桁…そっか、1つずれるのか」
「ということは、9^999は1000桁行かないくらいだから、900桁くらいかしら？」
「それくらいだと思うのです」
シェーラとカティアが桁数の予想を立てる。
「そうだな。正確には954桁だな」
「え、どうして分かるのさ」
「まぁ、対数というものがあってな…そこそこ簡単に計算できるんだよ。それよりも、実は9^999よりもっと大きくする方法があるぞ」
「え、そうなの？」
「指数を使うより大きくする方法があるのです？」
「いや、習ったものの中では指数が一番強い。ここでの方針としては、9を999乗したのが暫定一位だったよね？じゃあ3つの9で999より大きい数が作れたら、それを9の右肩に乗っければより大きな数が作れる。ということで答えはこれだ」
俺は紙に9を4つ、このように書いた。
「「「9の9乗の9乗の9乗？」」」
「んー、いや、指数は上から順に計算するんだ。例えば9を右上に3つ並べたものは『9の、9の9乗乗』なんだよ。9の9乗したものを9の右肩に乗せる、ということ」
「じゃあ、ここに書いてあるのは『9の、9の(9の9乗)乗乗』になるのです」
「や、ややこしいわね…」
「で、これは何桁になるのさ？」
「ええとだな…まず、9を3つ積み重ねたもの、『9の、9の9乗乗』がだいたい3.7億桁の数になる」
「「3.7億桁！？」」」
「そうだ。で、9を4つ積み重ねたものは9をその3.7億桁の数乗するものになるから、桁数はもっと莫大になる。もう計算できない」
「3.7億桁の数の時点で意味が分からないのに、9をその数だけかけ合わせるなんてことになったらもう分けが分からないわね」
「この世界にある全ての砂粒の数なんか比べ物にならないぞ」
「たった4つの9だけでそんなに大きくなるなんて驚きなのです…」
「そう。指数を使えば爆発的に数が増大するということがよく分かるね。さ、そろそろ休憩は終わりにして勉強を再開しようか」
「あ、そうだ。これ休憩だった。まるで算術の授業を聞いているみたいで休憩って気がしなかったね。ま、面白かったからいいけど」
普段算術の授業をとっていないユウも楽しめたようだ。
私がプレビュー画面で見る限り添付した画像の3枚目だけなぜかうまく表示されなかったのですが、皆さんの画面では正常に見えているか気になります。
もし見えていなければリンクをクリックしていただければ画像が見えるかと思います。
