果てへ
「ここからが決勝戦で役に立つ
順序数を考えると、無限を考えることが出来る
ω0をω0={0,1,2,……}として、0≦ω0、1≦ω0、2≦ω0……と全ての自然数より大きい極限順序数と定義することが出来るの」
そうか、無限を改めて考え直すのか！
「ω0が今まで考えていた無限だけど、順序数ではω0より大きい無限を考えることが出来る
+1はsuc関数をかけることっていうのは覚えてる？
これを使えば(ω0)+1=suc(ω0)=ω0∪{ω0}={0,1,2,……,ω0}で、ω0≦(ω0)+1になっている
これを、+に関して可換じゃない(+の右と左を入れ替えると違うものになる)ことに気を付けて繰り返せば様々な無限の集合が出来るの
例えばω0^ω0^ω0^……と可算無限回繰り返して出来る最初の順序数をε0(エプシロンノート)と呼んだりするかな
でも、これだけで出来る集合は全て可算なの
可算っていうのはω0と同じ無限かあるいはそれ以下のこと
ここで、ω0やε0などの可算集合を全て含む順序数をω1とすると、初めてω1は可算じゃなくなる
ω1以上の無限を非可算と呼ぶね
連続体仮説を認めればω1は実数の濃度と同じ
で、これにシッディを適用すればω(ω0)、それどころかω(ω(ω0))、ω(ω(ω(ω(……))))まで行ける、ということ！」
「それより上は行けないのか？」
κ0=ω(ω(ω(ω(……))))とでも置けば更に上の無限に行けるんじゃ……。
と思った俺の疑問は軽々と打ち砕かれた。
「残念だけどそこまで行くにはZFC公理系では限界がある
巨大基数公理というものが必要……らしい」
「らしいって何よそれ！ちゃんと調べたの？」
アンナ、お前も一緒に図書館に行っただろ……。
「ここまで行くとあまりに巨大すぎて参考書が少なくて……
この辺は実際にアストラルにやってもらって調節してもらうから」
「分かった、どこまで行けるかやってみよう」
空に勝つ、その為にも必ず最高の状態に仕上げる！
