No.1オークションはどのようにすべきか？
ここでは第二価格封印入札という
オークションの選定方法について語ろう。
まずはみんながよく知るオークションの方法を
書こう。
まず商品が出されて
みんなが金額をこれだけ出すと宣言して
最も高い金額を宣言した人が落札する
こんな方法が有名であるがこれは問題点もある。
6000円で落札したが
実は5000円でも落札できたということもありうる。
この時、1000円損していることに
なるのではないか？
開催者にとっては得するが
参加者にとっては損するだろう。
また負けたくなくて
つい金額を上げてしまうこともある。
それもオークションの醍醐味だと言ってまえば
それまでなのだが
数学的に考えると
この方法は合理的でないと言える。
問題点
評価額（自分が商品に対して持っている価値）と
公表する金額が一致しているとは限らない
評価額と公表する金額が同じである方が
いい方法ではないだろうか？
私は同じ方がいいと思う。
しかし評価額と公表する金額が一致するような
方法なんてあるのだろうか？
一致するってことはつまり
公表する金額を評価額にした時
自分が最も得をするということに他ならない。
そんな一見して無理難題に思えるこの状況を
作り出せる方法それこそが
第二価格封印入札という方法である。
第二価格封印入札
まず商品が出される
それに対して紙に金額を書く
この時他の人が書いたものは見れないし
他の人もまた自分が書いたのを見れない
書いた金額は公表されず
最も高い金額を書いた人が落札する
ただし支払う金額は
2番目に高い金額を書いたのと同じ金額である
一見これは奇妙な方法に思えるが
実は天才的な方法である。
なんとこの方法を使えば
書く金額（入札額）を評価額と同じにした時に
最も得するのである。
つまり正直に書けば得する方法である。
さあ、証明の時間だ
（証明に興味がない人は飛ばすことを推奨します）
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前提
1.何人かが参加するオークションのに1つの物が賭けられる
2.各参加者は入札額を一度だけ申告する
（ただし他の参加者の評価値を見ることはできない）
3.最大の入札額を申告した人が勝者である
4.勝者は2番目に大きい入札額を支払う
数値化
（iは1<=i<=nを満たす任意の自然数を表す）
（jは1<=j<=nを満たす任意の自然数を表す）
参加する人数をnとする（ただしn>=2）
各参加者の評価額をa1,a2,a3,…anとする（ai>0）
各参加者の入札額をx1,x2,x3,…xnとする
（xi>0,xi≠xj）
要素x1,x2,x3,…xnを持つ集合をXとし
集合Xの中でi番目に大きい入札額をX[i]とする
各参加者の利益をuiとし
ui=ai-X[2](iが勝者となる時）
ui=0(iが勝者とならない時)
とする
上の数値化に対する言語化
参加者は2人以上います。
各参加者は評価額を持ってて
それは当然正の値です。
各参加者は入札額を決めており
同じ入札額の人はいないとします。
参加者の利益は
落札できた時
評価額から2番目に高い入札額を引いた数
落札できない時は当然0とします。
証明
aiを入札額としてそれから
xiに変えた時の利益を調べてみる
パターン1.aiを入札額とすると落札できる時
落札できるのでai=X[1]であり、
利益はai-X[2]（>0）である。
パターン1-1.xi>aiとした時
当然落札できる。
その時利益はai-X[2]なので
変えても利益は変わらない。
パターン1-2.xi<aiとして落札できた時
落札できているため
その時の利益はai-X[2]となる。
よって変えても利益は変わらない。
パターン1-3.xi<aiとして落札できなかった時
落札できないので利益は0。
元々の利益はai-X[2](>0)より
変えると利益が下がる。
パターン1-1,1-2,1-3は
パターン1の全てを過不足なく表している。
よってパターン1の時aiからxiに変えると
利益は変わらないもしくは下がってしまう。
よって変えるメリットは全く存在しない。
よってxi=aiとするのが最も良い方法である。
(入札額を評価額にするのが良い)
パターン2.aiを入札額とすると落札できない時
落札できないのでai<=X[2]であり、
利益は0である。
パターン2-1.xi>aiとして落札できる時
落札するということは
xi>X[1]でなければならず、
変更後の2番目に高い入札額はX[1]である。
よって利益はai-X[1]となるが、
ai<=X[2]<X[1]であるので、
ai-X[1]<0である。
そのため変えると利益は下がる。
パターン2-2.xi>aiとして落札できない時
落札できないため利益は0。
よって変更しても利益は変わらない。
パターン2-3.xi<aiとした時
当然落札できないので利益は0。
よって変更しても利益は変わらない。
パターン2-1,2-2,2-3は
パターン2の全てを過不足なく表している。
よってパターン2の時aiからxiに変えると
利益は変わらないもしくは下がってしまう。
よって変えるメリットは全く存在しない。
よってxi=aiとするのが最も良い方法である。
(入札額を評価額にするのが良い)
以上よりパターン1,2どちらにおいても
xi=aiとするのが最も良い方法であり、
パターン1,2は全てのパターンを
過不足なく表しているため、
xi=aiとするのが最も良い方法である。
(入札額を評価額にするのが良い)
またiとおいて証明したためこれは
参加者全員において成り立つ。
証明完了
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上の証明から、
入札額を評価額にするのが
最も良い方法であるということを示した。
そのため第二価格封印入札という
オークションの選定方法は
正直者が得するのである。
正直者が得するのを絵空事だと思う世界中の人よ
正直者が得する方法ははここにあり
それは数学によって保証されているのだ
正直者がが必ず救われる世界はここにある
