夏末
蝉鸣已经听不到了，炎热的太阳也还没有退去。夏末是一年中顶无聊的时间。既没有新的魔法少女动画上映，像我这样的人也没有多少朋友可以约会。
真安静啊。
今年的新高一年级没了统一的假期预习，我们几科兴趣小组成了整个学校的主人。离开学还有半月，平时独来独往的我居然有些怀念熙熙攘攘的教室了。
我百无聊赖地伏在桌上，继续翻折手中的草稿纸。先折出一个四叶风车，再将四个边内错到中心，成为回旋镖的形状。
然后将外侧的棱角折向内部，一个「勾股弦图」就完成了。
我透过这张弦图看向太阳，外侧的四个三角形，和中心微微发亮的方形。真美啊，就像魔法少女的变身装置一样。不过，我仅仅是照着网上的教程按部就班，这些折纸方法到底是怎样设计出来的呢？
展开手中的纸，漫过折痕线段的阳光交织成一张金色的网，和草稿纸上原本的尺规作图重叠在一起。看来即使不用铅笔，草稿纸上的几何图形也不会消失。而且，折纸好像更厉害，之前问 demichat 时回答说，折纸可以解三次方程，因而能解决三等分任意角和翻倍立方体体积，这些尺规作图众所周知的困难。
所以折纸到底是怎样设计的呢？有什么机械的办法得到吗？
……
我盯着那些折痕用力思考，但什么也没有发生。
我把它们重新合成「勾股弦图」。面向太阳，模仿着动画中的魔法少女，默念变身台词。
（3，2，1！）
……
还是什么也没有发生。
毫不意外，无论是书上写的尤里卡时刻，还是魔法少女的奇迹，依旧与我这种人无缘。我不由得低下头，深深地埋进那本组合数学书中。
就像我的姓名「蔡德仁」一样，我是一个菜到极点的人。
我什么都不会。无论前辈们提到的名词或是数学课上的「二级结论」，我只是重复着学习，沿着前人的足迹写下问题解答。偶尔有想法，demichat 也会告诉我去前人的哪本数学书中寻找资料。即使如此，除了那家伙以外，我还是被身边的所有人称为「天才」。尽管在我看来，那家伙才是比我更有才能的人。
亲爱的爸爸妈妈，尊敬的老师啊。假使真有「天才」，我也只会是一个泥塑木雕的赝品罢了。赝品是不会发出真正的光芒的，可是，它又该去哪里呢？享受着幸福生活的我，真的有资格在哀伤的海洋中沉溺下去吗？
（沙，沙沙……）
在我闭上眼睛思考这些事时，头上似乎有什么动静。会这么干的除了乌鸦和喜鹊，恐怕也只有那家伙了吧。我抬起右手，果然抓住了一只纤细的手腕。
“艾莉你又在干嘛……”
抬起头，一张小巧而精致的脸出现在我面前。金色长发梳起一对猫耳般的发髻，而后成马尾辫向两侧散开。深红色的眼眸好奇地盯着面前正瘫在桌子上的生物。
（参考《しゅがてん！》的巧克拉）
“今天是石榴花吗？很少有人知道这是市花呢。”
“答对了！石榴花每年会开好几轮，这是今年最后一批花喔。”
“别去破坏学校绿化啊，你这家伙。”
「这家伙」，艾莉芬，我初一以来的同学「艾莉」。和我不一样，是个阳光的人，尽管小小只却让人不由得憧憬。
另外，她不是魔法少女。即使真有魔法少女，以我对她的了解也敢保证绝对不是。如果「认知改变魔法」能让我都毫无察觉，要么可以随时随地瞬间改写全部记忆，要么我早就利用它验证过数学猜想了。
最近她似乎热衷于更换发间插着的花卉，而且每天都要跑来我面前展示。每次说对花的种类时，艾莉就会像猫喝醉酒那样变得特别兴奋。
我看向窗户里映照的人影，果然，自己的头上也出现了一朵同样的艳红色重瓣花。
“像你这么漂亮的人不论，我还是别白费工夫打扮了。”
我用力贴在桌面上伸长自己。啊，手里还捧着那个折纸，像这样闪闪发光的东西，我拿着也什么都做不到吧，它应该去更相配的地方才是。一记上树偷桃，那个「勾股弦图」到她的头上和石榴花作伴去了。……没染色的弦图，总觉得少了点东西。
我忽然有些不安。
艾莉会喜欢这个吗？
我偷偷瞄向她的表情，结果映入眼帘的是被手机挡住的半张脸上凝固的笑容。
“啊哈哈。”
“不许偷拍！”
我跳起来抢她的手机，可是没有抓到。两人在教室里你追我赶，尽管都是不怎么运动的家伙，但不出所料……我才是更让体育老师担心的那个。最后艾莉跳到了教室角落的课桌上，像真的猫一样缩在墙边，双手抱膝，无处可躲了。
“没路躲了吧？”
我捏住她的脸颊揉来揉去，但她还是把手机抱在怀里。
“我也要拍——等等。”
我身上没有手机。这是显然的，就算是理科兴趣小组的自习，学校也不会允许学生带这么大的板砖。
我……没有手机。我什么也拍不了。
当然，我也不会「念写」魔法。
我还是什么也做不到。
我消沉地盯着那个即使如此也要偷拍我的家伙。我是不是太得意忘形了？明明是个假冒伪劣的家伙。
朋友间拍张照再自然不过。为什么我会有那样大的反应？
“等一下，蔡蔡，听我解释……”
现在的她简直就是可怜和可爱的集合体，我一点话也说不出。
“不要！呜……艾莉……”
错的是我。我伤害到艾莉了吗？我们的那些约定要不作数了吗？不，不，不，不，不能自卑，不能自卑，不能自卑，不能逃避，不能逃避，不能逃避——
“跟我来！蔡蔡。”
正当我心绪如麻，天性腾空的时候，艾莉又像往常那样拉着我走了。我跟着她的脚步向前奔跑，那会是哪里呢？
我们穿过短短的操场，穿过实验楼空无一人的楼梯，来到一扇写着 404 的门前。艾莉推开门，是机房。只有两台电脑的屏幕亮着光，艾莉带着我来到她贴着金色向日葵贴纸的笔记本电脑前。屏幕上显示着一道奇怪的数学题和一篇我看不懂的符号，像是电脑程序代码。
> ……给定一棵 $n$ 个点的树，每个点 $i (1\lt i\leq n)$ 和 $f_i$ 之间有一条无向边 $(f_{i} < i)$，边权为 $a_i$。定义一个序列是好的，当且仅当它的本质不同子序列（包括空序列）个数为奇数。问有多少有序对 $(x,y)$ 使得从 $x$ 到 $y$ 方向路径上的边权依次排成的序列是好的。[UOJ792 UR24A 比特跳舞]
“树是什么？”
“树是一个数学对象。”艾莉在纸上画出一张草图，“它由一些点和一些边构成，每条边连接两个点。换句话说，树可以定义成两个集合，所有点组成的集合，以及所有边组成的集合，而每个边也可以定义为点集中某两个点的点对。在此基础上，树还必须满足连通并且无环的条件。如果仅仅是一些点和连接点对的边，只能被称为图，树是特殊的图。”
树……
我盯着草图看。那棵树清晰地在我面前展开，变形。这给我的感觉与一直以来看到的字母和算式的数学书不同……也许对树来说，重要的是画出点之间的结构，而不是算式和数值。
原来如此。树是连通和无环的图，并且只是点连接的结构。图的定义，我曾经在一笔画问题看到过，边可以描述点之间的关系。不过，我从来没有见到过树的问题。就像看到从未见过的全新的魔法那样，我还不知道它有什么用和该对它做什么。
……
子序列也是一样。艾莉向我介绍了子序列就是将一个序列中的一部分元素——元素的一个子集——取出来按照在原本序列的先后顺序拼接成新的序列。听起来像火花术一样简单，可惜我也是第一次见到。
……
冷静，冷静。
在战斗中，魔法少女遇到从未见过的魔法会怎么办？
忘记它。专注自己现在要做的事。无论是打击到对方，或是救出什么人……
找到那个真正重要的东西……这个问题问的是什么？是好的有序对的数量。
所以“好的有序对”就是那个重要的东西。
和树或子序列无关，集中，集中——重要的是所有好的有序对形成的集合的结构！如果把所有好的有序对的集合画出来，说不定能看到它的规律！
那么在这个问题中，树用来干什么了？
是定义“好的”有序对，一个有序对对应从一个点走到另一个点的路径。树上的路径……有序对集合的结构……如果得到树上路径之间的关系，也能得到有序对之间的关系，从而得到结构。连在一起，会怎么样？从 $x$ 走到 $y$ 再走到 $z$，等于直接从 $x$ 走到 $z$ 的路径上在中间离 $y$ 最近的位置分叉走过去再调头……走回头路……所以两个好对拼起来等于走回头路……
不行，想不清楚了。什么也没想出来。的确，魔法少女也无法瞬间领悟前所未见的魔法。
“——蔡蔡，蔡蔡！”
我回过神来，艾莉正一脸兴奋地摇着我的手。
“「把所有好的有序对的集合画出来」，你说得对！”
艾莉指着屏幕上的几个 $01$ 组成的表格。
“在这个表格中第 $i$ 行第 $j$ 列是 $1$ 就代表 $(i,j)$ 是一个好的有序对，你看。它是对称的，而且有很多行和很多列之间都相等。我把这些行和列排序之后，就成了这样——一些对角线上的全 $1$ 方块。所以说——”
“所以说，实际上我们可以把 $1$ 到 $n$ 分成几个集合，同一集合内两个数形成的是好对，不同集合就不是好对。这样的话，总的好对数量等于集合大小的平方和。”
“没错。以图的语言来说，就是好对形成了若干个连通块。而且，我已经知道怎么证明了。”
我听着艾莉的解说。
“之前，我已经发现一个序列是好的，也就是它的子序列个数是奇数，当且仅当它可以从一端开始不断找这一端的数的第二次出现，并删掉第二次出现和之前的部分，直到把整个序列删完。反之，如果出现某个时候这一端的数没有第二次出现，就不是好的。也就是说，一个序列是好的序列对应着它的一个划分成若干个小段的方案，每个小段两端相等但内部不再出现两端相同数。这已经可以说明 $(x,y)$ 好时倒过来的 $(y,x)$ 也是好的。你最后是怎么说的？”
“……两个好对拼起来等于走回头路……”
“没错！我们可以发现走回头路的情况下，回头路部分一定是相同的小段抵消，而在岔路位置的小段恰好留下了一个头和一个尾。所以可以证明，如果 $(x,y),(y,z)$ 是好对，那么 $(x,z)$ 也是好的！也就是说，这样传递，只要是互相连通的都是好对！这样我们就证明了好对形成了若干个连通块！”
这部分，我完全听不懂。
不过，我派上用场了？其实我解析敌人的努力奏效了吗？
我感受到的「画出结构」其实真的是魔法般的东西吗？
奇迹与魔法是不存在的，但我就这样想了下去。
现在敌人中了艾莉的必杀技，所以当务之急是达成我们的目的。解决问题，算出好对的个数，也就是连通块大小的平方和……一方面，需要求出连通块，但是刚刚艾莉似乎已经描述了一个好对的充要条件。那么战斗为什么还没有结束呢？
“是在写程序。”
艾莉有节奏地敲击着键盘。我知道写程序就是让电脑去执行指令，不过这和数学题有什么关系？
我不断地向她请教，于是我第一次看到了一些魔法的力量。
这个问题，并不是表述问题的性质和规律就算解决。这个问题是一个真正的计算问题，它会输入数据，输入一棵树和树上每条边上写的数，而我们需要做的是写出一个程序对于任何满足规则的输入都能具体计算出题目要求的值，也就是输入数据对应的好的有序对数量。因而，我们需要的是给出一个读取输入，写下输出的，机械的计算过程，这称为算法。而程序就是将算法写下来交给计算机执行，之后计算机便会对许多组输入数据进行测试并验证计算正确与否，如此才算解决问题。
“所以说，这种问题是算法问题，而算法问题除了要找到正确的计算方式关键的是提高时间效率，如果不在意时间效率的话这个问题我们直接枚举所有的数对然后枚举所有的子序列按题目定义验证也能完成……”
“啊，AC了。——AC就是通过的意思，也就是我们做对了这个问题。”
感觉自己好像是外出逛街时不知情地吓跑了坏人，被感谢的魔法少女那样。
倒也不错。很久没有这样雀跃过了。
“艾莉是怎么在做这些问题的呢？”
“这个是信息学奥林匹克，简称「OI」(Olympiad in Informatics)，内容是算法问题竞赛。这个暑假学校新来的老师在教。蔡蔡，你要不要来学OI？我们一起……”
什么啊……奇迹与魔法，明明已经不再去相信了……
我看着屏幕上绿色的 Accepted，「接受」的英文，也就是我们解决了问题的意思。
我们真的一起解决了一个问题。艾莉是我的最好的朋友，但以往我们从未一起认真地做过什么。就像从前辈口中听到的共同创业反目成仇的故事那样，我害怕目标和责任的分歧会拆散我们……
艾莉正站在窗前，她的发梢渐渐染上绯色，溶入远方的云霞。
……我想到下午的事，真可笑啊，我这菜的人。总是像发癫的小动物那样。
那时的低落的心情，是我害怕着什么吗？还是我那无谓的自卑呢？
犯错的话，要在太阳落山前道歉，我们约好了的。
“我说，艾莉。”
这时候她转过身来，双手握在胸前，像仓鼠那样悄悄地看向我，
“真对不起，蔡蔡。我不该偷拍的。”
……啊。
是这样。
就是这样的心情。在那时，在眼前，在我那玻璃球般的内心中折射出光影的心情。怜爱她的温柔的心情，沉醉于艾莉那绚丽的笑容的心情，对这份美好没能被相机记录下来的遗憾心情。三年份的感谢，以及不想和你分开的心情。
我得做些什么。我的心正在清晰地跳动，带领我前进。就像魔法少女的 Full Power Mode 那样，明明我连魔法都未曾见过，明明我从未想到过这样的心情。
“没关系的！等我一下，艾莉！”
跑下楼梯，那些折痕的线在脑海中展开，重新拼成勾股弦图的形状。
追着晚饭的学生冲出校门，从记忆的图书馆中寻回机床的说明。
跳上通往少年宫的轨道，默念出喷绘与工图的格式。
拜托认识的管理员开锁，用熔胶将亚克力板和夹子粘在一起。
赶得上，列车的班次。
立秋未季，夏末的夜色准时地姗姗来迟。
我推开机房的门。
“艾莉！下午真是抱歉，作为赔礼，请你收下这个吧！”
我双手递出那个作为赔礼的五彩「勾股弦图」发饰。
“蔡蔡。”
艾莉握住我的手，带我触摸她已被夕阳染成绯色的金发。
“帮我戴上吧……？谢谢你，蔡蔡。”
是我要感谢一直以来的你啊。
我在她的马尾辫根部夹上亲手制作的「弦」。从地铁站一路跑回来，心跳已经计算不清了，双手也颤抖不已无法平静。
然后她将手机调到自拍模式。按下快门，拍下一张照片。双腿发软的我靠在艾莉身上，不过由于身高，看起来倒像我们依偎在一起似的。天色和她重新戴在我鬓角的石榴花一样红，从阳光中露出真容的月亮正高挂在树梢上。
“诶嘿嘿……”
“你笑什么……”话说到一半，我发现自己也是笑眯眯的。
“这是蔡蔡有史以来笑得最多的一张照片。今天一定要LCA老师发过来。”
“LCA老师……？”
“啊。就是刚刚说的这学期新来我们学校的OI老师，这手机是借他的。”
手机是老师的。……果然，艾莉还是艾莉。我可真丢人啊。OI是怎样的世界，LCA老师会是怎样的人呢？
“呐，艾莉。”
天空已经暗下来了，窗外是楼宇间的点点灯光。
“蔡蔡？”
久违地有了想要做些什么的心情。今天，我看到了一个新的世界的一角。算法，还有我从那个问题中感受到的「结构」的魔法。
“我想要和艾莉一起学OI。拜托你向LCA老师引荐了。”
我似乎什么也做不到。可是，我不想温和地走进这个良夜。
“嗯。”
艾莉笑着向我伸出手。
“一起学OI吧！”
走在你的身边，我能寻找到这片海洋的尽头吗？这片名为「天才」的海洋？
