Quod Erat Demonstrandum――以上が、証明されるべきことであった
「１つ、しつもーん！」
コウが手を挙げた。はいどうぞ、とピエが指差す。
「正直、いまの証明は後半チンプンカンプンだったんですけど……私が聞きたいのは１つ。
――これって、物理的にあり得るんですか？ それとも、純粋に数学的な現象なんですか？」
「少なくとも」とリンが口を挟む。「私たちの日常で起こっていないことだけは、確かだな」
そのリンの一言に、ピエが微笑んだ。
「本当かにゃ？」
「え？」
「ま、先にバナッハ＝タルスキの定理の正体を、暴きましょう」
「正体？」
どういうことだ、とリンが言う。
「最初の方で私が言ったこと、覚えてる？ 『点には、大きさがない』って話」
「ああ、言ってたな。だからこそ、球面を作るのには無限個の点が必要になった」
「うん。そうするとさ、仮にバナッハ＝タルスキの定理を実践しようとすると、どうしなきゃいけないことになる？」
「どうしなきゃ……？」
リンはそれだけ呟き、黙り込んだ。わからないらしい。代わりに、シーが「あっ」と言って、答えた。
「そっか。さっきの証明では、球面を『点』に分けていた。だから、バナッハ＝タルスキの定理を実践しようと思ったら、球体を、大きさのない『点』に分割しなきゃいけないんだ！」
「その通り！ 私たちはずっと、極とかＫとか、点の集合を考えていた。例えばＫ１は、球面からＫ２、Ｋ３、そして極を取り除いたものだった。つまり、バナッハ＝タルスキをやるためには、『大きさのない点を取り除く方法』を見つけないといけない」
「それは不可能だ！」
「そだね。話がややこしくなるから省いたんだけど、実はバナッハ＝タルスキの定理に用いられる球体には、『体積がない』の。何故なら、点の集合だから」
「は？ いや、待て」とリン。「ピエは最初に、『点が集まって図形が出来る』と言っていなかったか？ いまの話からすると、全ての図形に面積も体積もないことになるぞ」
「うん。実は最初のその話には、ちょっとした誤魔化しがあるの」
なに？ と、リンが眉間にしわを寄せた。
「私たちが普段何気なく『面積』『体積』と呼んでいるものは、実は『ルベーグ測度』と呼ばれるものなの。そしてルベーグ測度では、『ｎ次元の単位立方体の測度（大きさ）は、１とする』と定義されている。私たちが普段教科書で見ている図形は、点の集合ではなく、『ｎ次元の単位立方体の集合』なのよ」
「だが、待て。さっきの証明の中では、何度も、円や球面が点から出来ている、と繰り返していたぞ？」
「うん。だからバナッハ＝タルスキの定理に登場する球体は、私たちが普段見ている球体とは、全く別物なの。バナッハ＝タルスキの球体は、『ｎ次元の単位立方体の集合』ではなく、『点の集合』。そして『点には測度（大きさ）がない』。大きさがないものがいくら集まったって、大きさを持つはずがない。だから、バナッハ＝タルスキの定理に登場する球体は、体積がゼロの球体なの。
――つまりね。バナッハ＝タルスキの定理は、一見『１＝１＋１』となっているけれど、その正体は、『０＝０＋０』なの。だから、バナッハ＝タルスキの定理は、純粋に数学的なもの。そこら辺にあるボールを切り刻んで２つにする、なんてことは、出来ないのよ」
「なんだー」
コウが机に突っ伏した。期待して損したー、という顔だ。
「弟切り刻んで、クローン作ろうと思ったのに」
「スプラッタだね……」
だがコウは、すぐにパッと顔を上げた。
「あれ、でもいまピエ先輩、『本当かにゃ？』とか言ってませんでした？ 日常でも起こってるからこそ、そんなこと言ったんですよね？」
にや、とピエは笑った。そして、マフを見た。
「マフちゃんはどう思う？」
突然話を振られて、マフは少し驚いた。頬杖から顔を浮かせ、「あ、うん……」と答える。
「……ちょっと、思うところがある」
「なんですか、マフ先輩」
「まだ実験的に証明されているわけじゃないけれど……原子核にある陽子は、10の数十乗年で、崩壊すると考えられている」
「……それがなんですか？」
「陽子は、３つのクォークから出来てる。そして、陽子が崩壊して出来ると考えられているのは、π中間子とニュートリノ。だけどね、π中間子は２つのクォークから、ニュートリノは３つのクォークから出来ているのよ。つまり、クォークの数が増えていることになる」
「……理論が間違ってるんじゃないんですか？」
「私も、この理論はよく理解してないからなんとも言えないけど……」
ピエはにこにこ笑って、後を引き継いだ。
「いまマフちゃんが言ったとおり、クォークが増えてしまうような理論がある。それは、バナッハ＝タルスキの定理が、現実に起こっているからではないか？ ……そう考えている人も、いるみたいね」
「でもぉ」とコウが不満そうに言う。「その陽子崩壊は、まだ証明されてないんですよね？」
コウはピエを見ながら尋ねたが、コウの代わりにマフが頷いた。
「ええ、まだ理論上の話で、本当に起こるかどうかはわかっていない……」
「ほらピエ先輩。なにか、他に無いんですか？」
まさにその言葉を待っていた、と言わんばかりに、ピエはニコ、と笑った。それから、マフを見て聞く。
「ヤングの２重スリット実験って、どんな実験だったっけ？」
マフは一瞬だけ眉をひそめた後、ハッとしたように目を見開いた。それから、淡々と語り始める。
「平行に設けた２本のスリットに向かって、電子を１個ずつ飛ばすと、スリットの向こうにあるスクリーンに干渉縞が現れる……と言う実験」
「そう」と言ってから、ピエはマフに「その実験結果について、詳しく考えると？」とさらに続きを促す。
「電子は１個しか飛ばしていない。でも、何度も何度も、繰り返し飛ばすと、スクリーンには干渉縞が現れる。同じような実験装置で干渉縞を作るためには、『波』を飛ばすしかない。でも、『電子は粒子だ』。何故波ではないはずの電子で、干渉縞が現れるのか？ そのナゾを検証した結果、『電子は、粒であり、波でもある』という突飛な考えが生まれた。この考えは現在、『コペンハーゲン解釈』と呼ばれている」
マフは淡々と答えた。声に抑揚が無い。この後、ピエが言おうとしていることに、気がついたからかもしれない。
「それも納得いかないんだよな」とリンが口を挟んだ。「確かに理屈の上ではそうかもしれないが、粒であり波でもあるものを、想像できない」
「確かにそうだね」とピエがリンに同意した。「ところでリンちゃん。……波って、なんだろう？」
「……なに？」
リンは腕を組み、首を捻った。波とは何か？ しばらくリンが考えていたが、答えが出ないようなので、ピエは言った。
「波とは、粒子の振動です。例えば海の波は、水分子と言う小さな粒子が上下左右に大きく揺れている現象です。また、音は空気、つまり窒素分子や酸素分子が振動している現象です」
「言われてみれば、そうだな」リンは納得したようだ。「……で？ それとバナッハ＝タルスキと、なんの関係があるのだ？」
「関係するのはここから。話を戻すけど、バナッハ＝タルスキの定理に登場する球体には、体積がない。でもそれって、逆に言えば、『体積のない物体であれば、２個に増やすことが出来る』ってことだよね？ もちろん、増えた２個それぞれを、さらに２個ずつに増やすことも出来るから、結局、体積のない物体は、無限個に増やすことが出来る、ってことになる。
そして、さっきマフちゃんが言ったコペンハーゲン解釈。『電子は、粒であり、波でもある』。だけどリンちゃんの言ったとおり、そんなものは想像もできない。『何故、粒であるはずの電子が、波のような性質を持つのか？』私はこの疑問に対する答えとして、『バナッハ＝タルスキ仮説』を提唱したいと思います。すなわち。
――電子には体積がないため、バナッハ＝タルスキの定理に従い、無限個に増えることができる。無限個に増えた電子が、音を伝える空気のように振動し、波となる」
「電子って体積ないんですか？」
コウがマフを見た。マフは難しい顔をして、
「一応、ないかもしれない、と言われてるわ。まだわかってないみたいだけど」
でも、とマフが続けた。
「いまのピエちゃんの仮説には、欠陥がある。無限個に増えたのだとしたら、無限個の電子がスクリーンに投影されるはずよ。でも、実際には１個しか投影されない。残りの電子はどこに消えたのか、その説明がない」
「ううん。説明しようと思えば、出来るよ」
「どうやって？」
「ヒルベルトの無限ホテルで、最初に話したこと、覚えてる？」
「……」マフはしばし、記憶を辿った。「確か、満室のホテルにお客さんが来たから、ひと部屋空けたのよね」
「そ。と言うことは、『可算個の穴を埋めたのと逆の操作をすれば、みっちり詰まった球体に可算個の穴を開けることが出来る』よね？ そしてこのことから、バナッハ＝タルスキの定理の証明を逆に辿ることで、『２個の全く同じ球体を、もとと全く同じ１個の球体にする』ことも可能だとわかる」
「え、ってことは……」
「コペンハーゲン解釈における波束の収束同様、無限個の電子を１個に収束させることだってできるのです！ ……もちろん、『何故観測された瞬間に、１個に収束するのか』って疑問は残るけど、これはコペンハーゲン解釈でも同じことだよね？」
マフは黙って頷いた。ピエの「バナッハ＝タルスキ仮説」は、確かに筋は通っていた。
「バナッハ＝タルスキ仮説の良いところは、さっきマフちゃんが言った陽子の崩壊も説明できること。１つの理論で複数の現象が説明できれば、これは科学的に強力な状況証拠と言えるよね？ さらに、コペンハーゲン解釈と違って、シュレディンガーの猫のパラドックスも生じない。状態が重ね合わさってるわけじゃないからね」
ふん、とリンが鼻で笑った。
「どのみち、私たちの日常で起こってる出来事ではないな」
ピエは苦笑して、最後を締めくくった。
「バナッハ＝タルスキの定理そのものは、最先端の数学と言うわけではありません。もう証明され、解決されたものだから。でも、これがどのような意味を持ち、数学の他の分野にどのように応用できるのか、そして他の学問とどう関連するのか、と言うことは、まだまだわかってません。でも、今日の私の講義は、ここで終わりにしようと思います。
ご清聴、ありがとうございました！」
参考文献
・レナード・Ｍ・ワプナー『バナッハ＝タルスキの逆説』（佐藤かおり＋佐藤宏樹／訳、青土社、2009）
・電子や陽子などの性質について、Wikipediaの当該項目を参照
※作中に誤りがあったとしても、それは文献ではなく、私の説明や文献の解釈の誤りによるものです。
※なお、ヒルベルトの無限ホテルを円周率で説明する方法や、ピエの提唱した「バナッハ＝タルスキ仮説」などは、作者の創作によるものです。
ここまで読んでくださった奇特な方、ありがとうございます。
「ゼミ」という形式をとったため、ひたすら語り続ける内容になってしまいましたが……こういう話を書くなら、結城浩さんの『数学ガール』みたいにするべきでした、と反省。
そもそも、ひたすら語り続ける内容にしては、５人という登場人物はちょっと多いですね。
続編の予定は特にありませんが、また何か面白い本を読み、インスピレーションを得たら、書くかもしれません。
