Q.2 : 無限について、１万文字以内で考察しなさい
細かいところは読み飛ばし、大まかな雰囲気を掴む方が、楽しめるかもです。
１つの球体をいくつかにバラし、それを組み立てなおすと、もとの球体と全く同じものが２つできる。
この信じられない定理は、「定理」であるにもかかわらず、「パラドックス」と呼ばれることもある。間違いなく「真」であるのに、「偽」としか思えないタイプのパラドックスだ。
果たしてどんな証明が飛び出すのか。そしてそれは、高校生レベルで理解できるものなのか。
しかし黒板に向き直ったピエが書いたのは、一見、バナッハ＝タルスキの定理とは関係なさそうな単語だった。
「ヒルベルトの無限ホテル？」
シーの言葉に、こくり、とピエが頷く。
「有名な話だし、聞いたことあるんじゃないかな？」
とピエは尋ねたが、メンバー誰一人として、得心したような顔をしない。聞いたことがないようだ。
「……これは、無限にまつわる一見突飛な話。だけど、割と理解しやすいと思う。
あるところに、インフィニティと言う名前のホテルがありました。ホテル・インフィニティにはその名の通り、無限の部屋がありました」
「待て」止めたのはリンだ。「そんなホテルはあり得ない。どうやって建てるんだ」
「むー、そう言われても。例え話だと思って聞いてよ」
ピエは数学屋だ。ゼミの内容も９割数学である。だから、無限などと言うロマンチックな内容も、あっさりと受け入れられる。
一方、リンは生物屋だ。徹底したリアリストであり、現実的なことしか受け入れない。
……だからピエがゼミ担当のときは、リンは突っかかるか、置いてけぼりになるかの、どちらかのパターンになることが多かった。
「とにかく、そういうホテルがありました。そしてホテル・インフィニティはいつも大変な人気で、今日に至っては満室でした」
「無限に部屋があるのに？」と今度はシー。
「無限に部屋があるのに」とピエは頷いた。
「……。まあいいわ。続けて」
「ところが運悪く、もう１人突然のお客様がやってきて、一晩泊めてくれと言いました。フロントのボーイは、あいにく満室となっておりまして、と断ろうとしましたが、そこにオーナーのヒルベルトが現れて、言いました。
『大丈夫です。ただいま１室、お空け致します』
ヒルベルトは館内放送で、宿泊客達にアナウンスしました。
『お客様に、ホテルよりお願い申し上げます。大変申し訳ありませんが、これより、１号室にお泊りのお客様は２号室へ、２号室にお泊りのお客様は３号室へ、３号室のお客様は４号室へ……のように、お客様の客室番号に、１を加えはお部屋へお移りください』
まもなくして全員の移動が終了すると、ヒルベルトは新しく来たお客様に言いました。
『さあお客様、どうぞ、１号室へご案内致します』」
「いやいやいや、待て待て待て」
リンが右手を前に突き出した。左手でこめかみを押さえる。
「そんなバカな話があるか？」
「どして？ だって、部屋は無限にあるんだよ？」
「だが満室だったのだろ？ だったら、最後の部屋に泊まっている客は、どこに移るのだ？ その客の客室番号に１を加えた部屋は、そのホテルにはないはずだ」
「じゃあ逆に聞くけど、最後の客室番号って、何番？」
「それはもちろん……１万だか１億だか知らないが、大きな数だ」
「じゃ仮に１兆だとしたらさ、部屋の数は１兆室ってことだよね。……それって、無限じゃないよね」
リンはしばし黙り込み、考え込んだ。
部屋数は無限にある。つまり、最後の番号なんてない。それが無限と言うものだ。
「……そもそも、無限の部屋数なんてものはあり得ない」
「うーん……」ピエは少し悩む素振りをした後、「じゃあ、この話ならわかるんじゃない？」と黒板に向き直った。
いったい何を書くのかと、部員たちはピエの肩越しに、書かれていく文字列を眺める。ピエが書いたのは、見覚えのある数列だった。
π＝3.14159265358979……
「ご存知、円周率π。これは、無限小数であることが知られています。……これはいいよね？」
リンは頷く。他のメンバーからも、異論は無いようだ。
「円周率の小数点以下の各位と数字の関係を、次のように書く」
ピエは再び、黒板に数列を書いた。今度の数列は、表の形をしていた。
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10 11 12 13 …
１ ４ １ ５ ９ ２ ６ ５ ３ ５ ８ ９ ７ …
「上の行が小数点以下第１位、第２位、第３位…を表し、下の行がそれぞれの数字を表す。で、ここで考えてもらいたいんだけど……」
ピエはリンを見て言った。
「円周率は、小数点以下が無限に続く。これは各位を『部屋』と見なせば、無限室の部屋に無限個の数字が１つずつ収まっている状態と言える。これは理解できるよね？」
リンは渋々頷いた。ピエは無垢な笑みを浮かべると、先を続けた。
「ここで円周率に0.1をかける。すると、こうなる」
0.1π＝0.314159265358979……
「そしてこれを、さっきと同じように書き表すと、こうなる」
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10 11 12 13 …
３ １ ４ １ ５ ９ ２ ６ ５ ３ ５ ８ ９ …
「あっ」とマフが声を上げた。「１号室の数字が２号室に、２号室の数字が３号室に移ってる！」
ピエは満足気に頷いて、後を続ける。
「しかも、その空いた１号室には、新しいお客様の３が入っている。無限室の部屋が全て埋まっていたにも関わらず、新しいお客様を迎えることが出来た。……これが、ヒルベルトの無限ホテル」
どうよ、と言わんばかりにピエは胸を張ってリンを見る。リンは淡々とした表情のまま、「円周率の話はわかった」と答えた。
「だがホテルは認めん」
頑固だなぁ、とピエは思った。
「とりあえず、またホテルに話を戻すね？
……ホテル・インフィニティは今日も大盛況。今日は、１号室を除いて、全ての部屋が埋まっていました。オーナーのヒルベルトは大満足。
しかしそこに、ヒルベルト宛ての電話がかかってきました。それはヒルベルトの雇い主、リンデマンでした」
ちなみにリンデマンとは、ヒルベルトを教えた大学教授であり、πが超越数であることを証明した人物だが、部員たちは知らなかったようで、特になんら反応を示さなかった。
「そう、ヒルベルトは雇われオーナー、いわば名ばかり社長だったのです！ リンデマンは、この書き入れ時の季節に１室でも部屋が空いていると、ホテルの従業員全員を減俸にするほどのドケチな人でした。そのリンデマンが、なんと今日、ホテルの視察に来るというのです！」
ピエのテンションは徐々に上がり、言葉が芝居じみてきた。が、部員たちはいまいち乗り切れてないようである。
「で？」とリン。「ドラマ部分はいいから、数学の話をしてくれ」
「むー、数学嫌いのリンちゃんのためにやってるような物なのに。
とにかく、リンデマンがやって来ると聞いて、ヒルベルトは震え上がりました。なんとか、今すぐ満室にしなくてはいけません。そこでヒルベルトは一計を案じ、館内放送を流しました。
『お客様に、ホテルよりお願い申し上げます。大変申し訳ありませんが、２号室のお客様は１号室に、３号室のお客様は２号室に、４号室のお客様は３号室に……のように、お客様の客室番号から、１を引いたお部屋へお移りください』
まもなくして、お客様が全員移動し終わりました。そしてタイミングよく、リンデマンがやって来ました。彼を出迎えて、ヒルベルトは堂々と言いました。
『ご覧ください。本日も、ホテル・インフィニティは満室です！』」
「待て待て待て！」
両手を前に突き出して、リンが「タイム」をかける。
「おかしい。最後の部屋はどうなった。最後の部屋から１つ前の部屋に移った客がいるはずだ。だから、最後の部屋は空くはずじゃないのか？」
「だ・か・らー。最後の部屋なんてないんだってば。部屋数は無限にあるんだから」
「えーと、ピエちゃん」マフが言った。「もう一度、円周率で説明してくれる？」
「わかった」
頷いて、黒板に向き直った。チョークを取ると、先ほどの表の下に、次の数式を書いた。
10π＝31.4159265358979……
そしてその下に、先ほどと同じような表を書く。
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10 11 12 13 …
４ １ ５ ９ ２ ６ ５ ３ ５ ８ ９ ７ ９ …
「これでわかった？」
とリンを見る。
「……。確かに、もともと２号室にいた４が、１号室に来ている。それでいて、無限の部屋は全て埋まっている」
むむむむむ、とリンは頭を抱え始めた。
「今日のゼミ、私は理解しきれる自信がない」
「難しく考えずに、『そう言うもんだ』と思って受け入れてよ」
何故ピエにはこんなことが受け入れられるのか。リンにはその精神構造が、全く理解できなかった。
「ここで重要なのは、２つ目の『部屋を埋める話』。無限の部屋があるとき、いくつかの空き部屋があっても、他の部屋が満室なら、そこに泊まっているお客様を移動させることで、ホテルを満室にできる。このことを覚えておいてね」
納得半分、疑心半分。やや眉をひそめた様子で、部員たちはピエのセリフを聞いていた。
ピエは再び黒板に向き直ると、今度は図形を書いた。ロボットのように、綺麗な円を描く。
「ではシーちゃんに質問」
「えっ、はい！」
シーはシャキッと背筋を伸ばした。ピエはシーに、チョークを向けた。
「円の定義は？」
「円？ ええと……ある一点からの距離が、常に等しい点の集合？」
「さすがシーちゃん、その通り！ なんでも知ってるねー」
シーの得意分野は化学だ。だが化学に限らず、色々な分野の基礎知識を身につけているし、一を聞いて十を知れるだけの頭脳を持っている。部員の中では、部長のマフを凌ぐ一番優秀な人物だ。
「さて」とピエが仕切り直す。「いまシーちゃんが言ったとおり、円……というか、平面図形はすべて、点の集合と見なすことができる。でも考えてみて。『点』は点に過ぎない。大きさを持たず、位置しか示さないその存在がいくら集まったところで、『線』を作ることは出来ないはずだよね？」
「……言われてみればそうだが」とリン。「だが現実に、線はある。どういうことだ？」
ピエは頷いて、説明した。
「点が集まって図形が出来るのは、点が無限に集まることで図形の位置を指し示しているから、と解釈するの」
「えっと、つまり……」
とコウが言った。コウは天文が好きな娘だ。リンと同じく、現実を見て、現実的なことを受け入れるが、宇宙創成のようなロマンチックなことにも理解があるタイプだ。
「位置を示す点の集合が線だとすると、線は『連続的な位置を表すもの』ってことですか？」
「その通り！ 一応、比喩で説明しようか？ 点は、位置を表す。例えば、『理科室を出て左に曲がり、真っ直ぐ進んで突き当たった場所』と言えば、ラウンジの位置を、つまり点を表すことが出来る」
こくり、とコウは頷いた。
「そして、『理科室を出た場所』『左に少し進んだ場所』『さらに左に少し進んだ場所』『さらに左に少し進んだ場所』……そして『突き当たった場所』と言えば、ラウンジまでのルートを、つまり線を表すことが出来るでしょ？ つまり、連続的に場所を表現することで、線を表さすことが出来る」
全員、その様子を頭に思い浮かべているようだ。
「だけど、その表現する場所と場所の間に、少しでも隙間があると、線は点線になってしまう。実線にするためには、点のサイズがゼロでなくてはいけない。大きさがないからこそ、連続的な線を表すことが出来る」
リンは明らかに、思考放棄した顔になっていた。椅子の上で、足と腕を組んでいる。
「まあ、いい。わかった。そこからどう話が展開するんだ？」
「点が無限に集まって、円となる。では、いまここで、円から１点だけ抜いた図形を考えて見る」
ピエはそう言って、黒板に図を書いた。ぐるりと大きな円を描いたが、円周上の一箇所だけ、穴が開いている。
「くどいようだけど、円周上に点は無限にある。でもこの図では、１点だけ抜けている。この抜けた部分を『１番』とする。そしてその隣、反時計回りの方にある点の位置を『２番』、その隣を『３番』、その隣を『４番』……と言う風にしていく」
１点が欠けた円周上に、１番、２番、３番…と番号が振られていった。ちなみに、この図の隣には、先ほどの円周率の表がある。
「ここで思い出して欲しいのが、さっきのホテル・インフィニティ。リンデマンが視察に来るとき、ヒルベルトは巧妙なやり口で部屋を満室にしたよね？」
リンは渋々頷いた。一方マフは、「話が見えた」と言わんばかりにニヤリとした。
「と、言うことは！ この１点が欠けた円にも同じ操作を施せば、完璧な円を作ることが出来るわけですよ！」
すなわち、２番の点を１番に、３番の点を２番に、…と移動させていけば、空いた１点を埋めることが出来る。
「では、この方法を利用して、１つの円から、２つの円を作ります」
「ちょっと待って」
えーと、とマフが唸った。マフは物理屋だ。中学や高校で習うような、いわゆる「理科」も好きだし、宇宙論や量子力学なんかも大好きだ。当然、それらに関連する数学についても、かなり詳しい。
「いまピエちゃんは、１点が欠けた円を、完璧な円に作り変えた」
「そだね」
「これは、あたかも点を１つ増やしたような行為。そして、円は無限個の点の集合。だから、『無限の点を増やせれば』円のコピーが作れる」
「まさにその通り」
「……でも、無限個も増やせるの？ 増やせる個数には、限界があるんじゃない？」
ピエは目を見開いた。それから、てか、と笑い、チョークを指揮棒のように振る。
「うん、すごく良い指摘！ 確かにマフちゃんの言うとおり、増やせる個数には限界がある」
「でもそれじゃ」とコウ。「無限個の点が必要な円は、作れないんじゃないですか？」
「これは、ちょっとしたトンチだね」とピエが楽しげに言った。「言葉のあや、って言った方が正確かな？」
「どういう意味です？」
「私が言った『増やせる個数に限界がある』というのは、『上限がある』って意味じゃないの。『増やせる個数』と『増やせない個数』がある、って意味なのよ」
「はぁ？」
リンが組んでいた腕と足を解き、身を乗り出した。
「つまり、２個増やすことは出来るけど、３個は出来ない。でも４個は出来る……とか、そういうことか？」
「うん。ま、そんな単純な話じゃないけど」
タネを明かすように、ピエは一呼吸置いて、説明を始めた。
「答えを言うと、『可算個の点を増やすことは出来るけど、非可算個の点を増やすことは出来ない』のよ」
「…………」
ポカンとする部員を背に、ピエは「可算個○ 非可算個×」と黒板に書いた。
「運動会の競技にさ、玉入れってあるでしょ」
「ピエ先輩がやってたやつですね」
コウがくすくす笑う。先日の運動会、「高校生にもなって玉入れなんて」とやる気のないメンバーが集う中、ピエ１人だけが狂喜乱舞の大立ち回りをしていた。そのおかげで玉入れでは勝利を収めたが、ピエのチームは学校中から失笑を買っていた。
「好きなんだよね、玉入れ」
素の答えが返ってきた。
「ま、それはおいといて。玉入れって、最後に玉を数えるとき、かごから同時に玉を出していくでしょ？ ひと～つ、ふた～つ、み～っつ、って言いながら」
ピエはかごから玉を出すジェスチャーをしながら言った。
「で、最初に玉がなくなったところが負け、最後まで玉が残ってたところが勝ち、だよね？」
「そうだけど、それが？」
「これってさ、複数のかごに入っている玉を、１対１に対応付けてる様子だと思わない？」
「……は？」
よくわかっていないらしいリンのために、ピエが黒板に図を描いた。
わかりやすく、かごは２つ。赤いかごと白いかごだ。かごの上に、赤玉と白玉がいくつか並べられた。
「１番目に取り出した玉に、『１』と書く」
赤玉と白玉のうち、一番左に描かれた玉の中に「１」と書かれた。
「２番目に取り出した玉には『２』」
その隣の玉に「２」と書かれる。以下、ピエはそれを続けていった。「３」「４」「５」「６」……「１０」まで来たところで、赤玉が尽きた。一方、白はまだ３つ残っている。残り３つの玉にはそれぞれ、「１１」「１２」「１３」と書かれた。
「いまこの２つのかごに入っている玉は、１対１対応出来てない、ってわかる？」
「まあ、そうね」とマフ。「白が残ってるから。白にある１１、１２、１３と書かれた玉に対応する玉が、赤にはない」
「そ。だけどこうすると」ピエは「１１」「１２」「１３」の玉を消した。「１対１対応になるよね？」
「１対１対応と言うよりは」とシー。「ナンバリング？」
「んん……少し違うけど、そう考えても問題ないのかな。んで、昔、ゲオルク・カントールさんが、『２つの集合の要素が１対１対応できるとき、２つの集合の要素の個数は等しい』と定義した。簡単に言えば、『１つ、２つ、３つとかごの中の玉を取り出して、同時になくなったら、２つのかごの玉の数は等しい』ってことね」
「わかりやすいな」とリン。
「でしょ」とピエが笑う。「ではこれを、無限に拡張する」
リンは頭を抱えた。
「無限って言っても、これは単純な話だよ？ 無限にあるものと言えば、自然数。そこで、『自然数と１対１対応する集合は、可算個の要素を持つ』と言うの。これが可算個の定義。逆に、自然数と１対１対応出来なければ、それは非可算個ってこと」
「つまり」とシー。「ナンバリング出来るものが可算個、出来ないものが非可算個と言うこと？」
「『自然数で』ナンバリングするって条件がつくけど、だいたいあってる」
そして、とピエは黒板の一点をチョークで叩いた。さっき書いた、「可算個○ 非可算個×」だ。
「円に、可算個の穴が開いていれば、その隙間を埋めることが出来るの」
「ちょっと待てよ」
リンが止めた。
「無限の話はよくわからないが……自然数が無限個ある、と言うことは私にもわかる」
「うん」
「その自然数と１対１対応するということは……対応する側も、無限個あるということだな？」
「合ってるよ」
「なら、可算個の穴を開けるということは、無限個の点を引っこ抜くと言うことだ。無限個の点で出来ている円から、無限個の点を除いたら、そこには何も残らないのではないか？」
「本当にそうかにゃ～？」
ニヤニヤ笑いながら、ピエは黒板に向き直った。そして、こんな表を書いた。
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10 …
２ ４ ６ ８ 10 12 14 16 18 20 …
「上の行に書いたのは自然数、下の行に書いたのは偶数。この表から明らかなように、偶数は、自然数と１対１対応できる。シーちゃんの言葉を借りれば、『偶数はナンバリングできる』。だってそうだよね？ １番目の偶数は２、２番目の偶数は４、１００番目の偶数は２００、って感じで、番号と偶数が１対１で対応してるもんね」
「そう、だな」
「そして、『明らかに偶数は無限個ある』よね？」
「まあ、明らかだな」
「じゃあ、円周上の点に、さっきみたいに１から順番に番号を振ったとする。そしてそこから、偶数番目の点を取り除いたら、どうなる？」
「……」リンは、負けた、と思いながら答えた。「奇数番目の点が残るな」
「そ。私たちは『偶数番目の点』を取り除いた。そして『偶数は無限にある』。だけど、『奇数番目の点が残る』。つまり、無限個の点から無限個の点を取り除いたのに、まだ奇数番目の点が残ってるってわけ」
「…………」
「じゃあこのまま、円の話を続けようか。まず完全な円から、偶数番目の点だけを横にずらす。そうすると、『偶数番目の点だけの円っぽいもの』と『奇数番目の点だけの円っぽいもの』の２つの図形が出来る」
ピエは、点線で２つの円を描いた。それぞれの上に、『奇』『偶』と描く。
「ここからまた、さっきのホテル・インフィニティに行こう」
「また建設不可能なホテルか」
「今度ばかりは円周率で説明するのは難しいから、これで勘弁して……。
ホテル・インフィニティは、昨今の不況に加え、シーズンオフであることもあり、今日は全室のうち、部屋番号が偶数の部屋しか、お客様が泊まっていませんでした。
ところが！ 運の悪いことに、今日もまた、リンデマンが視察に来るというのです。
リンデマンは、シーズンオフだろうが書き入れ時だろうが、全室埋まっていないとスタッフ全員を減俸にするほどのドケチ。なんとかして、今すぐ満室にしなくてはいけません。
そこで、一計を案じたヒルベルトは、館内放送を流しました。
『お客様に、ホテルからお願い申し上げます。大変申し訳ありませんが、これより、２号室のお客様は１号室へ、４号室のお客様は２号室へ、６号室のお客様は３号室へ……のように、お客様の部屋番号を、２で割った番号の部屋に、お移りください』
程なくしてお客様の移動が終わると、ちょうどリンデマンがやってきました。ヒルベルトは彼を満面の笑みで向かえ、言いました。
『ご覧ください、ホテル・インフィニティは、今日も満室です！』」
もはやリンは何も突っ込まなかった。ただ項垂れただけである。
「恐ろしいことに、筋は通ってるわね」とマフ。「ｎを自然数とすれば、偶数は２ｎと書ける。だから、『全ての偶数を２で割れば、全ての自然数が現れる』」
「そういうこと」とピエは頷いた。「同じように、全ての奇数から、全ての自然数を作ることも出来る。１を加えて２で割ればいいからね」
「つまりそれって」
コウは、黒板に書かれた２つの「円っぽいもの」を見た。
「その円っぽいものを、円に出来るってことですか？」
「そう！ 偶数番目の点だけで描かれた図形は、全ての点を、２で割った番号の位置に移動させる。奇数番目の点だけで描かれた図形は、全ての点を、１を加えて２で割った番号の位置に移動させる。これで、２つの『円っぽいもの』が、円になる。ところで、この２つの『円っぽいもの』は、もともと１つの円を２つに分けて作ったものだった」
「と、言うことは……」
シーが息を呑んだ。他の部員達も、狐につままれたような顔になる。
「これで、１つの円から、もとと全く同じ２つの円を作ることが出来た、ってことになるの！」
「……」
コウは、納得いかない、という表情で、黒板を見た。ピエはほとんど口頭で講義したが、黒板を見ると、論理の痕跡が残っている。ヒルベルトの無限ホテルでは、奇数番目の部屋が空いていても、偶数番目の部屋が全て埋まっていれば、全ての部屋を埋めることが出来る。それと同様に、１つの円を、偶数番目の点の集合と奇数番目の点の集合に分ければ、それぞれの集合から１つの円を作り出すことが出来る。
