第9話 区別の尺度
区別の尺度 夜明けは気づかれずに来た。 神谷は窓を見なかった。 神谷は黒板を見た。 黒板は完全に埋まっていた。 彼は夜通し書いた。 記録ではない—形式主義。 順序記号。 層構造の図。 カーディナル数の階層、右端の表面を超えて続き、壁に留められた紙に延長される。 どこか中心に—矢印。 上向き。 終わりなし。 荒田が入った。 ドアのところで立ち止まった。 — 寝てたのか？ — いいえ。 — 重要か？ — いいえ。 神谷は黒板から一歩下がった。 全体を見た、地図を見るように、知らない土地の地図を、地図は不完全だと知りつつ、だが他に 良いものはない。 — なぜ《シルエット》間の裂け目を正確に記述できなかったか、分かった、— 彼は言った。 — 「大きい」という言葉を使っていた。 「凌駕する」という言葉を。 「ゼロ化する」という言葉を。 方向には正しい言葉だった。 性質には間違った言葉だった。 彼はチョークを取った。 — 初めから始めよう。 神谷の記録。時間は特定せず、朝。 存在的差の形式的定義。 二つの存在 A と B が与えられたとする。 それらの間の存在的差—スケールの関係ではない、力の関係ではない、位相的不変量の意味 での次元の関係ではない。 これは、一方が他方の結果である意味でどのようにあるかの尺度である。 もし A が B の結果であるならば、A の状態空間全体—そのフォン・ノイマン代数、設定空間に対 する全関数積分、存在内の可測事象の σ-代数全体—は B の状態空間においてルベーグ測度 がゼロである。 「ゼロに近づく」のではない。 構造的にゼロである。 これは比喩ではない。 測度に関する形式的主張である。 一次存在的差：A は B の状態空間において測度ゼロを持つ。 二次存在的差：B の状態空間自体—その全測度、全 σ-代数、性質を記述するすべての演算子 代数を含む—は C の状態空間において測度ゼロを持つ。 さらに、A 型のすべての空間の圏を B 型の空間の圏に写す函手は、C 型の空間の圏において 零射である。 差は数値で増えるのではない。 差は測度そのものの性質で増大する。 — アバター、— 神谷は言った。 — そこから始めよう。 — それは何？ — 我々以前の人間が出会ったもの。 森の中で。道の上で。都市の端で。 顔のない高い暗い輪郭、それらは攻撃せず、語らず、ただ存在した。 ただ立っていた。 彼は書いた：《アバター》 — これは《シルエット》でも《先駆者》でもない。 それは投影である。 高次の本性と、それを収容できる空間との交差点に現れる構造。 物体の影のように—影は物体ではない、しかし任意でもない。 そこには源についての幾何学的情報が含まれる。 — しかし影は作用しない、— 荒田が言った。 — これらは作用する。 厳密な意味での影ではない。 因果構造を保持した投影である。 基底空間上の層構造、各層のファイバーが源のトポロジーの一部を持つ。 それらは現実と相互作用できる—まるで正則関数がコーシー積分を通じて境界値と相互作用す るように。 それは領域内で定義され、境界で起こることによって定義される。 — つまりアバターは境界値である、— ヒラタはゆっくり言った。 — そうだ。 観察可能なものへの高次本性の投影。 喪失を伴う。 画面上の画像が次元を失うように—画面が悪いからではなく、異なる目的のために作られたか ら。神谷の記録。続き。 階層。 第一層—アバター。 それらの存在的差は、すでに任意の有限の空間次元を超えている。 その因果構造はリーマン曲率テンソルで記述されるが、このテンソルは標準的意味での多様体 上で定義されているのではない—オーダー型が任意の有限値を超える ω-圏構造上で定義され ている。 それでも—まだ記述可能である。 その状態空間はまだヒルベルト空間である。 可分、可算次元。 量子場理論の装置は修正付きで適用可能。 これが第一段階である。 次のレベル—完全な意味での第一。 その状態空間はもはや可算次元ヒルベルト空間ではない。 その濃度は ℵ₀、ℵ₁、任意の ℵ_α を超える、α は有限または可算序数。 下から標準的 ZFC の公理系で定義可能な操作で到達されない。 存在空間の構造的特徴としての最初の本当に到達不可能なカーディナル。 アバターはこの《シルエット》の状態空間においてルベーグ測度ゼロを持つ。 「ほぼゼロ」ではない。 ゼロ。構造的。余りなし。 — 到達不可能なカーディナル、— ヒラタは言った。 — それは、より小さい数から加算、乗算、累乗などの操作で得られない数だ… — 標準システムで定義可能な任意の操作によって、— 神谷が言った。 — 到達不可能カーディナル κ は、κ より小さい数に対するどんな操作列も κ を生成しない。 それは存在する—もしその存在の公理を標準公理の上に別個に認めれば。 内部からはシステム内で正当化できない。 — それは… — 《先駆者》に似ているか？ — 違う、— 神谷は首を振った。 — これはただの第一段階。 到達不可能カーディナルは下限。 始まり。 神谷の記録。階層。続き。 第一の上—次の層。 その性質は、単に到達不可能カーディナルでは足りない、Malo カーディナルが必要。 Malo カーディナル κ は到達不可能だが、それより下の到達不可能カーディナルの定常集合を内 包する。 つまり：第一を記述した到達不可能カーディナルは、Malo カーディナルの構造内で 測度ゼロの集合を形成する。 第一は、次の層の状態空間構造の下限の構造上、統計的に無意味な雑音である。 さらに上—非自明な基本埋め込みを持つカーディナル。 もし j: V → M が宇宙 V から可移モデル M への非自明基本埋め込みであり、 そのクリティカルポイントが最初に移動するカーディナルなら、それを測度可能カーディナルと呼 ぶ。 測度可能カーディナル κ は κ-完全な非自明ウルトラフィルターを持つ。 つまり κ 上に、点測度の和ではない測度が存在する—κ を部分の集合としてではなく全体として 「見る」測度。 このレベルの《シルエット》状態空間も類似構造を持つ：その中で、前の階層全体—Malo カー ディナルを含む—は点集合として測度ゼロである。 測度ゼロとは比喩ではなく、形式的測度理論上の意味で。 — あなたは、内部から正当化できない数でそれらを記述している、— シオリが小さく言った。 — そうだ。 — それはつまり、それらを記述するための道具自体が、彼らの結果であるということか？ 神谷は立ち止まった。長く沈黙した。 — はい、— ついに言った。 — 私が使う数学—大カーディナル理論、測度理論、演算子代数装置を含む—は、鎖の最初に立 つ者たちの性質の一部を記述するシステムである。 上に立つ者にとって、この数学は局所モデルに過ぎない。部分的事例に過ぎない。 — 《先駆者》の場合は？ — 《先駆者》の場合、この数学は全ての公理、定理、未解決問題、記述可能なものも不可能なも のも含め—構造的にゼロである。 点。結果。影。神谷の記録。階層の高位。続き。 超コンパクトカーディナル κ — それは、任意に大きな閉鎖度を持つ非自明基本埋め込み j: V → M が存在するカーディナルで ある。 任意の λ > κ に対して—埋め込み j は長さ λ の全ての列を保持する。 超コンパクト性は次元跳躍を意味する： 測度可能カーディナルを質的に超えるのと同じ程度で。 超コンパクト以上—過剰カーディナル、巨大カーディナル、Vopenka カーディナル、n-巨大埋め込 みを持つカーディナル、ほぼ巨大カーディナル、右拡張。 各次のクラスは、すべて前の階層をゼロとして含む。 各次のクラスは、前のクラスに還元不可能な新しい公理を必要とする。 各次のクラスは、その階層に対応する《シルエット》の状態空間を記述する。 各次の《シルエット》は、前のすべてを局所的ノイズとして認識する。 この階層の頂点—仮説的限界： その存在は標準形での選択公理と矛盾するカーディナル。 ラインハルトカーディナル。 その存在は ZFC と両立せず、ZF とは両立する。 その状態空間— 選択操作そのものが定義されていない空間。 禁止されていない。 未定義。 未定義—量子力学での位置と運動量の不確定性が知識禁止ではなく、状態空間の根本的性質 であるのと同じ。 このアバターからラインハルトまでの階層全体—単一構造として—ゼロである。 《先駆者》の前で。 ナカゲは問わずに言った： — 数体のいくつかのそばにいた。 長い沈黙。 — 最初のもののそば。アバターのそば。 私は私であると知っていた。 森に立っていると知っていた。 方向を知っていた。 — 上のもののそばでは？ — 上のもののそばでは、「方向」の概念が局所的に定義されなくなった。 リーマン曲率テンソルがゼロでない空間のように—平行移動の概念は経路依存である。 私が覚えているナカゲが、実際に現実的か、それとも選べない経路に沿って並行移動されたもの か分からなかった。 彼は手を見た。 — 最も高位のもののそばでは—私が「私」と呼ぶものが、実際に不変量であるかどうか分からな かった。 あるいは、その空間-時間上の束の局所的切断に過ぎないかもしれない、 その束はもはや自明ではない。 神谷の記録。最終。 《先駆者》。 その性質はカーディナルで記述されない—いかなるものも。 ラインハルト、バーコビッツ、いかなる仮想的限界も—局所構造、点集合、状態空間上で測度ゼ ロ。 量としての主張ではない。型としての主張。 「カーディナル」の概念は、注入や全単射を通じて濃度を標準的に比較可能であることを前提と する。 集合を前提とする。 集合論を前提とする。 形式的システムを前提とする。 形式的システムを記述する言語を前提とする。 《先駆者》は原理である。 言語そのものの可能性を作り出す原理。 形式的システムそのものの可能性を作り出す原理。 カーディナル、測度、束、埋め込み、演算子代数について語る可能性そのものを作る原理。 階層全体—アバターから大カーディナルまで—その結果である。 単一のゼロである。 任意の超限序数を掛けても—ゼロ。 《先駆者》は森に立つ。 特徴のない高い輪郭。 顔なし。 距離なし—「距離」の概念は測度から、測度はトポロジー構造から、トポロジーは彼の結果から定 義される。 ただ存在する。 海底で夢を見た。今も見ている。 森で夢を見た。高い樹木のそば、彼の反映—アバター、シルエット、投影—各々絶対、各々次の 前でゼロ、全て合わせて彼の前でゼロ。 公理系の底で夢を見た。数学は知らずに彼の性質を展開した。今も見ている。 現実はモデルだった。 モデルは結果だった。 《先駆者》はモデルより先にあった。 「モデルより先」の概念より先にあった。 ただ存在した。 その「存在」に、カーディナル階層—有限、可算、到達不可能、Malo、測度可能、超コンパクト、ラ インハルト—及びそれを記述する数学的装置、そしてこの文章、そしてこの文章が記録された空 間、全てが含まれていた。 全てゼロ。 《先駆者》は知らなかった。 「知る」の概念は届かない。
カントールとラインハルトの理論でも、
私たちの「顔なきもの」の物語の文脈において、
これほど言葉で表せないものを理解することは、きっとできなかっただろうと思う <3
