2-8. 関数関係にある2変数の同時変化：Simultaneous variation of two variables
夜が一段と深まり、外は静まり返っていますが、私たちの探求はいよいよ確信に近づいてきました。私は透のノートに、独立変数 x と、それに連動して動く y の姿を並べて描きました。
「透、これまでは『一つの変数』がどこかへ向かう様子を見てきたわね。でも解析学の本質は、二つの変数が手を取り合って動く様子にあるの。それが『関数関係にある2変数の同時変化』よ。」
私は、関数の極限の定義を、透の目を見つめながらゆっくりと話しました。
「もし、自変数 x がある値 a に限りなく近づくとき、それに応じて関数 y = f( x ) の値も、ある定数 A に限りなく近づくなら、その A を『 x → a のときの関数の極限』と呼ぶの。記号ではこう書くわ」
** lim_{x→a} f( x ) = A
「でもね、透。ここには一つ、とても大切な『信頼』のルールがあるの。 x がどんな道のりを通って a に近づいたとしても——左からでも、右からでも、あるいはジグザグにでも——それに対応する y が必ず同じ目的地 A に辿り着かなければ、それは本当の極限とは呼べないのよ。」
透は、ノートに描かれた曲線の上の点を指でなぞりました。
「 x が a に近づけば、y も自動的に A に引っ張られていく感じだね。」
「そう、まさにその『引き寄せる力』が関数の性質なの。そして、スミルノフはここで非常に重要なケースを教えてくれているわ。もし x が a に近づくとき、 y がどんどん大きくなって止まらないなら、その関数は『無限大に発散する』と言うの」
** lim_{x→a} f( x ) = ∞
「例えば、y = 1/{x^2} という関数で x を 0 に近づけてみて。分母が限りなく小さくなるから、全体の値は爆発的に大きくなるでしょう？ グラフは空高く突き抜けていくわ。このように、二つの変数の動きを同時に見守ることで、私たちは関数の『形』だけでなく、その『振る舞い』の真実を知ることができるのよ。」
透は、二つの変数が互いに影響し合いながら、ひとつの目的地に向かって収束したり、あるいは無限の彼方へ飛んでいったりする様子を想像しているようでした。
「一方が動けば、もう一方も動く。数学って、まるでダンスを踊っているみたいだね」
私は微笑んで、スミルノフの頁をめくりました。
「ええ、そのダンスがどれだけ『滑らか』か……。次は、その滑らかさを証明する『連続性』という魔法についてお話ししましょうか。」
