23 『拡張次元』⑥ 八元数④
☆『四次元超球』②
『四元数』は三本の実辺軸にそれぞれ拡張次元 “i” “j” “k” を加えた r = a ＋ bi ＋ cj ＋ dk の式で表される数体系です。
では『八元数』は？ となると全体像を把握するのに『複素数』の範囲に限定してしまうと理解が及ばない部分が出てきてしまうため、少し扱う範囲を拡げる必要があります。
数式としてはこう表わされます。
r = a ＋ bi ＋ cj ＋ dk ＋ el ＋ fli ＋ glj ＋ hlk
『四元数』で描かれたのと同じ“球面”の“基点”に “l ” を置き、『直交座標系』で対となる要素である“左右” “前後” “上下”の三本の軸を“基点”をから伸ばし、“球面”との交点をそれぞれ “i” “li” 、 “j” “lj” 、 “k” “lk” と置きます。
つまり、『四元数』の時には同軸上の“l ” を挟んで対称となる位置には－(マイナス)の符号をつけた同じものが配置されましたが、『八元数』ではその場所に、異なる軸上にあるはずの “li” “lj” “lk” を置いています。
その根拠となるのが、“四次元超立方体”で考察した“塞” “表空間” “裏空間”という概念です。
『八元数』で描かれる“球”は、球面上に伸びる“円周”が直交した点から“基点”方向に直行した軸を伸ばした“球体（三次元）”になるのです。
すなわち、“球体（三次元）”を成立させるための『拡張次元』は“四次元超立方体”で考察した通り“内外”あるいは“表裏”という要素であるというのが私の推論です。
“四次元超立方体”の内部にある“裏空間”は“基点”に置かれた“l ” の向こう側の世界“四次元空間”へと繋がっている――私はそのように考えます。
そして『直交座標』と『極座標』の融合を果たした“四次元超球”は、それらの要素をすべてまとめた上で“球体（三次元球面）”として存在しているのです。
