2 『拡張次元論』
考察を進める前に、前提として最低限持っておくべき共通認識として『次元』『力』(ついでに『波』)について少し触れておきたいと思います。
その理由は、従来の理論の再確認を兼ねていろいろ調べていくうちに通常の数学や物理学の概念では切り落とされてしまっている、あるいは区別をつけるべきなのにそうなっていないと感じるものが結構な割合で見受けられたからです。そこで、共通認識を持つだけでなく前提条件を整える意味でも最初に必要事項の解説をしていきたいと思います。
※途中、この考察の中でしか通用しない定義づけなども行いますので、よそでは通用しないこともあることをあらかじめ頭に入れておいてください。
高校の数Ⅱで習う数の概念に『複素数』があります。虚数(i)という、二乗して-1になる数を扱う分野ですが、実数を表す直線に対して直角に交わる直線を引いて生み出された平面『複素平面』を活用することを前提にした数体系です。
“空間”の考察にこの概念はなくてはならないものです。
ですが、通常考える『複素数』では関連する取扱い範囲が広すぎますし、この考察での使用目的としてほとんど“次元”と“空間”の考察の中での扱いしかありませんので、一般的な『複素数』と区別をつける意味合いも込めて『拡張次元』という名称で使用します。(“実次元を拡張する次元”という使い方をするのでそのような名称にしてあります)
これから何度も出てきますので、混乱しないよう注意してください。
複素数を使うと数の操作に回転の概念を加えることができるようになりますが、『拡張次元』の概念では特に“循環する円運動”に限定すると定義します。
e^iτ= 1 (τ=2π)
循環運動を考える場合には弧度法を使用するわけですが、一般的な円周率『π(パイ)』だと円周の半分にあたり、一周と基準とするにはそれだと使い勝手がよくないため、以下の考察では『π』の二倍にあたる『τ(タウ)』を円周率として採用しています。
また、一般的には区別されていませんが、同じグラフ上で回転を扱う関係上誤解や混乱が生じる可能性を排除するために“軸”についても区別をつけておこうと思います。
今後は直線的に際限なく伸びる線状の軸を『辺軸』、そして回転の基点を含めた支柱になる軸を『環軸』として呼び分けます。
考察で出てくる定義や用語を以下に整理しておきます。
辺軸(axis):直交座標及び極座標の基準となる方向を示す直交する直線軸
現実空間で表せる最大本数は3本が限度となる。
環軸(shaft):極座標における回転、循環運動の支柱となる軸。
どの方向に延びるにしても座標の基点を必ず軸の中心に置く。
基点(base point):円周及び球面のすべての点から同距離にある位置にある点。
必然的に中心に存在することになる。
拡張次元:循環という現象を視覚化するために実部と直交する方向に軸を拡張する操作。
通常は複素平面と呼ばれる座標を循環運動に限定して使用する。
それ以外と区別するため特別に『拡張次元』という名称を用意した。
0次元 P=a (点) 軸の要素も対称性も持たない。
一次元 L=ax (直線・円周) x(円周の場合はaとb)が変数。
又は α=a+bi e^iτ=1 次元を拡張する場合、実辺軸に振動という現象で現れる。
実辺軸に投影された動きから元の拡張次元に循環運動を復元することが可能。
二次元 S=ax×by (平面・球面) xとyが変数。
又は β=a+bi+cj+dk 二本の辺軸を持つ平面空間。
e^qτ=1 拡張次元をそのまま実空間上の平面に投影できるため、球面を描き出せる。
三次元 V=ax×by×cz (立体・球体) xとyとzが変数。
又はγ=a+bi+cj+dk+el+fli+glj+hlk 私たちが住んでいる次元。
三本の辺軸で構成される立体空間。
四次元 D=ax×by×cz×dw (胞体) xとyとzとwが変数。
四次元超球は、拡張次元の投影先が
0→0となりa≠0 b≠0 ab=0 という状況が発生してしまうため成立しない。
フルヴィッツの定理(合成代数):実数体上のノルム多元体の数は8である。
※ノルムとは、平面あるいは空間における幾何学的ベクトルの長さ(絶対値)。