19 『拡張次元』② 四元数
『拡張次元』とは
☆視点を90°回転させることで“実辺軸”と、新しい視界に伸びる“直交する辺軸”が新たな次元を生み出す（次元を拡張する）という手順を加えます。
『極座標』における円周が『直交座標』の“塞”と同様の状況を作り出している様子が視覚的に見て取れると思います。
軸に関しては以前説明した通りです。
進行方向に伸び続ける直交する軸：辺軸(axis)
回転運動の支点となる軸：環軸(shaft)
円・球の中心となる点（等距離の点）：基点(base point)
☆『拡張次元』の点を実空間に投影する操作についての法則。
移動距離の絶対値という観点から、投影と復元について考察します。
☆複素数……Re(実)軸に投影→回転から単振動に変換。
１→ -１への振動→iを通る経路の半円
-１→１への振動→- iを通る経路の半円
両者の動きを足せば実辺軸上なら振動、拡張次元(複素平面)なら円運動になります。
つまり双方向に変換・復元という操作が可能となっています。
☆四元数……球面→球面へ投影……動きに変化なく位置及び環軸が90°変換。
☆八元数……球面→基点への軌道を通る軌跡……球体
基点→球面への軌道を通る軌跡……球体
※双方一方通行、循環はせず一方向への軌跡のみ描かれる。
☆八元数より多い数……基点０→基点０（ab=0 a≠0 b≠0）
なので、三次元球より多次元の球面を実数上に描くことは不可能になります（全て『基点０上の点』で表されます）。
※それを数式で表したものがフルヴィッツの定理(合成代数)です。
☆四元数
x辺軸・y辺軸・z辺軸の実数空間上にある三本の辺軸に、それぞれ『拡張次元』を追加していきます。
実空間に投影された球面は逆回転時に球面の位置自体が移動するわけではなく、環軸の向きと拡張次元数の位置が変換されることになります。
※回転が止まった時点で環軸はリセットされます。
