第2章 数理モデル（Mathematical Framework）
本章では、第1章で導入したセル宇宙モデルを数理的に定式化する。特に、（i）セル間相互作用の有効ポテンシャル、（ii）膜の境界条件、（iii）距離生成ダイナミクスとスケール因子の関係、の三点を最小構成として与える。ここで提示する枠組みは有効理論（effective description）として位置づけられ、マクロにおいては標準的なFRW宇宙を再現しつつ、その背後にある離散的距離生成過程を記述することを目的とする。
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2.1 基本変数と粗視化
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宇宙は多数のセル（距離生成単位）から構成されると仮定する。セル i, j 間の中心距離を
r_ij(t)
とする。共動座標系において
r_ij(t) = a(t) χ_ij
と分解する。ここで a(t) はスケール因子、χ_ij は時間に依らない共動距離である。
セル総数を N(t) とし、宇宙体積 V(t) に対して
N(t) ∝ V(t) ∝ a(t)^3
を仮定する（粗視化近似）。したがって
a(t) ∝ N(t)^(1/3)
が成り立つ。
本モデルでは「宇宙膨張」を a(t) の増大としてではなく、N(t) の増加（距離セルの生成）として解釈する。
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2.2 セル間有効ポテンシャル
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セル間の有効相互作用を、距離 r に依存するポテンシャル
V(r) = A / r^n - B / r^m - Λ_ext r^2
(n > m > 0, A > 0, B > 0, Λ_ext > 0)
として与える。
各項の物理的意味は以下の通りである：
(1) 近距離反発項 A / r^n
セル同士の重なりを防ぐ強い斥力。膜による非貫通条件の有効表現。
(2) 中距離安定化項 -B / r^m
有限距離での安定配置（極小点）を与える。粘着的相互作用の有効項。
(3) 外部セクター起源項 -Λ_ext r^2
ダークセクター（外部領域）に由来する大域的斥力の有効表現。
マクロには宇宙定数項に対応する。
このとき力は
F(r) = - dV/dr
= (nA)/r^(n+1) - (mB)/r^(m+1) + 2Λ_ext r
となる。
したがって、
r → 0 ：第1項支配 → 強い反発
r ≈ r0 ：第1・第2項の釣り合い → 安定距離
r → ∞ ：第3項支配 → 加速的分離
が自然に導かれる。
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2.3 多体系としての運動方程式
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セル i の位置ベクトルを x_i とすると、運動方程式は
m_eff d^2 x_i / dt^2 = Σ_{j≠i} F(r_ij) e_ij
で与えられる。ここで
r_ij = |x_i - x_j|
e_ij = (x_i - x_j)/r_ij
である。m_eff は有効慣性パラメータであり、セル自体は物質ではないため厳密な質量ではなく、幾何的自由度に対応する有効量として導入する。
粗視化の下で、系は等方・一様とみなせるため、平均的にはスケール因子 a(t) の運動方程式に帰着される。
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2.4 膜の境界条件
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セルは内側の物質セクターと外側のダークセクターを分離する膜によって囲まれていると仮定する。膜は物理的実体ではなく、境界条件として定義される。
（M1）非透過条件：
J_in^μ n_μ = 0
J_out^μ n_μ = 0
ここで J^μ は各セクターの流束、n_μ は膜法線ベクトルである。これにより両セクターの混合は禁じられる。
（M2）応力差条件：
膜を挟んだ圧力差 ΔP は
ΔP = P_out - P_in
と定義され、球対称近似のもとで膜張力 σ と
ΔP = 2σ / R
の関係を満たす。
（M3）距離生成条件：
膜の局所領域において
ΔP > P_c
が満たされるとき、新たな距離セルが生成されると仮定する。ここで P_c は生成閾値である。
このときセル生成率 Γ は
Γ = Γ(ΔP)
として圧力差の関数となる。
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2.5 セル生成ダイナミクス
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セル総数の時間発展を
dN/dt = Γ N
と仮定する。Γ は平均的な生成率であり、膜条件および外部相互作用に依存する。
解は
N(t) = N_0 exp(Γ t)
である。
したがってスケール因子は
a(t) ∝ N(t)^(1/3)
より
a(t) = a_0 exp(Γ t / 3)
となる。
これは指数膨張を与え、マクロには宇宙定数支配宇宙と同等の振る舞いを示す。
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2.6 有効FRW方程式との対応
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内部観測者はセル構造を直接観測できず、平均化されたスケール因子 a(t) のみを観測する。したがって有効的には
H(t) = (da/dt)/a
で定義されるハッブルパラメータにより記述される。
本モデルにおける後期宇宙では
a(t) ∝ exp(H t)
が成立するため
H = Γ / 3 = const
となる。
標準FRW方程式
(ä/a) = -(4πG/3)(ρ + 3p)
と比較すると、本モデルでは
ρ_eff + 3p_eff < 0
に対応するが、ここでの有効量 (ρ_eff, p_eff) は内部流体ではなく、外部ダークセクターと膜境界条件の効果を内部から再記述したものである。
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2.7 状態方程式パラメータのずれ
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セル生成率 Γ が時間依存性を持つ場合
Γ = Γ(t)
とすると
H(t) = Γ(t)/3
となり、これに対応する有効状態方程式は
w_eff = -1 + ε(z)
の形でΛCDMからの微小なずれ ε(z) を生じる。
このずれは観測的検証可能量として、本モデルの重要な予測となる。
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2.8 本章のまとめ
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本章では、セル宇宙モデルの最小数理構造を提示した。セル間ポテンシャル、膜境界条件、セル生成ダイナミクスを組み合わせることで、宇宙膨張は距離生成過程として一貫して記述される。
特に、セル生成率がセル数に比例するという仮定のもとで、指数膨張が自然に導かれ、観測される加速膨張と整合する結果が得られた。
次章では、本モデルに基づく宇宙進化の時間発展を詳細に解析し、減速期から加速期への遷移がどのように再現されるかを検討する。
