冠模試 4
大問4はここまでとはちょっと違う問題だった。
「原点をOとするxyz空間上の3点，
A(2, 0, -2), B(1, 0, 0), C(0, -1, 4)
を通る平面をPとする.
(1) 平面Pの方程式を求めよ.
(2) 平面P上の点と2点(0, 0, 0)と(-1, 0, 0)の距離の和の最小値を求めよ.」
(1)については求める平面の方程式をax+by+cz=dとおき、3点の式に代入してa, b, cをdで表せば計算できそうだ。(2)も、平面で似たような問題を見たことがあるような気がする。2点(0, 0, 1)と(0, 0, 0)は平面Pに対して同じ側にあるので、片方を平面Pに対して対称移動させて、その対象移動した点ともう片方の点の距離が求める最小値となる。
これは難なく解けた。ここまで85分経過している。僕はページをめくり、大問5、すなわち最後の問題にとりかかった。
これは積分の問題だ。まず求める領域とx軸との上下関係を把握する必要がありそうだ。実際f(x)=0の解がx=2±√3と計算でき、その範囲でf(x)>0となることがわかった。あとは積分を行うだけだ。
1/(1+x^2)型の積分はx=tan t とおいて置換積分するのが定石とされている。tan (pi/12) = 2-√3を使えば無事に計算することができた。(2)も、計算は複雑ではあるが、1つ1つのステップに迷うところはなかった。計算が合っている自信があるわけではないが、方針すら立たないような問題ではないという印象だ。
ここまで110分経過している。残り70分だ。僕は大問2を振り返った。
(1)はこの方針で間違っていなさそうだ。(2)を見直していると、自分はあることに気が付いた。
「p(1)=11/16じゃん」
僕は消しゴムで消して書き直した。考え続けているが方針が思い浮かばない。確率漸化式を立てるという考えも浮かんでは、その面倒くささに嫌気がさして否定しようとしてしまっている状況だ。
僕はシャープペンシルを置いて、大問3のページをめくった。
nInの極限が0になることを示さなければいけないように感じる。ところがそれすら難しそうというのが問題を解いての印象だ。
今のところ、大問1と4が完答できていて、5は計算ミスしていなければ完答できているという状況だ（そして、今のところは計算ミスは見つかっていない）。2は(1)だけ、3は(2)までが解けている。残り時間は30分だ。正直、残りの問題に関しては正解できる気がしない。
それでも、自分は可能な限り足掻いてみようと心に決めた。
