冠模試 2
「最初に4枚のコインを用意し，それを投げて表が出たコインを取り除く. 残ったコインに対して，それを投げて表が出たコインを取り除く. 以下，この作業を，コインがすべて取り除かれるまで繰り返していく. 以下の問いに答えよ. ただし，コインの表裏はともに確率1/2で出るものとする.
(1) ちょうどn回でコインがすべて取り除かれる確率を求めよ.
(2) 作業がn回以上続き，なおかつ，n回目に初めてコインが2枚以下になる確率を求めよ.
ただし，問題文中のnは正の整数である.」
確率の問題を見たときにまずすると決めていることは、何項か実際に計算することだ。僕は、まず、最初の2項を計算した。
(求める確率をp(n)とおくと、p(1)=1/16で、p(2)は4→0と3→0と2→0と1→0を全部足し合わせればいいから、……計算大変そうだなあ)
そんなことを考えて、もう飛ばして次の問題を見ようか考えていると、ふと思い浮かんだ。
「n-1回目までに1枚以上のコインが残り、n回目ですべてのコインが取り除かれる確率を求めればいいのか！」
特定の1枚のコインに着目したときにそれがn-1回目まで取り除かれる確率は、取り除かれない(全部表が出る)事象の余事象の1-(1/2)^{n-1}なので、n回以内に4枚とも取り除かれる確率は(1-(1/2)^{n-1})^4である。ちょうどn回で取り除かれる確率は、n回以内ですべてのコインが取り除かれる確率からn-1回以内でですべてのコインが取り除かれる確率を引いたものとなる。
僕はこれをきちんと記述した。あとは最後の式を気合で展開するだけだ。僕はこれを気合で展開し、n=1, 2の場合で一致することを確かめた。
(2)については解決の糸口すら見えてきそうにない。p(1)=5/16ということはわかるが、それ以上何をすればよいのかも見当が付かない。漸化式を立てるにしても状態が5つ必要で、1つ消せる（和が1になることからわかる）とはいえ実質4状態である。線形であるとはいえ恐らく5項間漸化式になる（実際計算すれば、もう少し楽な形になるのかもしれないが……）だろう。4項間はギリ3項間に帰着できるので解けなくはないが、5項間はまず4項間に帰着しなければいけないので、正直面倒くさい以上の印象がない。
僕は解くのをあきらめて次の問題に移った。ここまでで40分経過している。
これは、よく見るタイプの積分漸化式の問題であり、部分積分を利用して極限を求めるタイプのようだった。(1)は積分の形から不等式を証明し、はさみうちの原理から0に近づくことを言えばいいだろう。Jnはマイナスになる部分が含まれるので、下と上から評価する必要があるがそこまで複雑な処理ではなかった。
(2)についても、x^nを微分し、e^x sinx、e^x cosxを積分すれば漸化式が得られるのでそこまで大変そうな問題でもなかった。計算したあとに思ったが、正直、この問題に関しては微分した形から積分を計算した方がはやそうだった。
問題は、(3)だ。漸化式の形がかなり複雑であり、あっている自信がない。
ここまで65分経過している。ここで計算ミスしていたら怖いので、僕は1回後回しにすることに決めて大問4に取り掛かった。
