集合の濃度
集合の濃度 → 順序数と基数... と進める予定なので濃度の話です.
集合の言葉については一通り前提とします.
以前に少し触れた, 無限集合の要素の個数の大小を比較することについて考えましょう.
まず, "集合の要素の個数が同じ" という概念を (無限集合に対しても) 整備します.
定義: 集合 X, Y と関数 (写像) f: X → Y があるとき, f が "一対一の対応" (全単射とも呼ぶ) であるとは, 以下の 2 条件を満たすことをいう.
・全ての x_0, x_1 ∈ X に対し, x_0 ≠ x_1 であれば必ず f(x_0) ≠ f(x_1) が成り立つ. (単射性)
・全ての y ∈ Y に対し, ある x ∈ X が存在して y = f(x) となる. (全射性)
関数 f: X → Y が一対一の対応であるとき, f によって X の要素と Y の要素がちょうど 1 つづつ紐付けされて組になります. すると, このような状況では (無限集合に対しても) "X の要素の個数と Y の要素の個数が同じ" と考えて差し支えないということがわかるでしょう. 無限集合における, 要素の個数の概念は "濃度" と呼ばれます.
定義: 集合 X, Y が "等しい濃度を持つ" とは, 一対一の対応である f: X → Y が存在することをいう. (*1)
では実際に, "等しい濃度を持つ", あるいは "等しい濃度を持たない" 具体例を見ていきましょう.
(例1): X はいつでも X と等しい濃度を持つ.
(∵ X 上の恒等写像 id_X: X → X; id_X(x) = x for ∀x ∈ X は全単射である.)
(例2): X が Y と等しい濃度を持つとき, Y も X と等しい濃度を持つ.
(∵ 全単射 f: X → Y が存在する. f^{-1}: Y → X も全単射である.)
(例3): X が Y と等しい濃度を持ち, Y が Z と等しい濃度を持つとき, X と Z は等しい濃度を持つ.
(∵ 全単射 f: X → Y, g: Y → Z が存在する. 合成 g○f: X → Z が全単射になる.)
以上の 3 つの例は, "等しい濃度を持つ" という関係が同値関係であることに他なりません.
(例4): 自然数全体の集合と, 偶数全体の集合は等しい濃度を持つ.
(∵ 自然数全体の集合を N, 偶数全体の集合を E とする. f: N → E を f(n) = 2n と定めると全単射である. (確かめよ))
この例は, 無限集合の "要素の個数" が, 有限集合の要素の個数とある面において異なる性質を持つ事実を示しています. 自然数全体の一部分であるはずの偶数の集合が, 全体と同じ濃度を持つのです. 少し違う言い方をすれば, 自然数全体から全ての奇数 (これもまた自然数と同じだけある!) を取り除いても, 要素の個数は減らないのです.
自然数全体の集合と, 有理数全体の集合も等しい濃度を持ちます. しかし, 無限集合で濃度が異なる例が存在します.
(例5): 集合 X と, X の冪集合 P(X) (X の部分集合を全て集めたもの) の間に全単射は存在しない.
次回はこの証明から続きます.
(*1: ここで定めているのは "X と Y は等しい濃度を持つ" をいうひとつの "述語" である. "X の濃度" という "対象" が陽に定まっているわけではない. ただし同値関係であるからそのような概念が存在するものと考えて差し支えない.)
