異世界講座とタクシー数
マイナス×マイナスがプラスになるのって不思議ですよね。よくわからないけどそうなるって教えられた、という人も多いかと思います。
フィーナとの勝負から1か月が過ぎた。フィーナとの数学勝負をきっかけに、ユリナ姫とフィーナの2人に数学を教えるのが優人の日課となっていた。今日はいつものように城の一室で授業が行われている。
授業中、優人はふとフィーナの服装に目が留まった。そして、尋ねた。
「その服装……どうしたんですか？」
フィーナは自慢げに裾をひらひらと揺らしながら笑顔で言った。
「かわいいでしょ、これ！ 側仕えの衣装なの。きのう、ようやく仕立て上がったから、早速着てみたのよ。」
優人はその言葉を聞いて、少し困ったような顔をした。
「いや……かわいいですが、教え子にメイド服を着せているというのは、なんか複雑な気分ですね……」
ユリナ姫がフィーナの姿を見て、優しく微笑む。
「とても似合っていますよ、フィーナ。まるでお城の華みたいですね。」
その褒め言葉にフィーナは少し照れながら、お返しをするようにユリナ姫を見た。
「そういう姫様も、今日つけているそのネックレス、すごく素敵です！ 私、今まで姫様がそれをつけているのを見たことがありませんでしたけど、本当にお似合いです。」
ユリナ姫は頬を赤らめながら感謝の言葉を述べた。
「ありがとう、これは母が愛用していたものなんです。気分を変えたくてつけてみたんです。優人様は気づいてくださいませんでしたが……」
ユリナ姫がいたずらな瞳で優人のことを見る。優人はそんなやり取りを聞きながら、思わず苦笑いを浮かべた。
「気づかなかったなぁ……昔からそういうのはからっきしダメなんですよ。ははは。」
その言葉にユリナ姫とフィーナが一斉に優人を見つめると、彼はから笑いをしながら慌てて話題を変えた。
「あ、そうだフィーナ。アーシュ君の調子はどうですか？」
アーシュとはフィーナの弟の名前だ。フィーナは表情を明るくして答えた。
「おかげさまで、ずいぶん良くなったわ。薬を飲んで、しばらく療養していたら体力が戻ってきて、今では軽い散歩くらいならできるようになったの。本当に感謝してる、優人！」
「それはよかった。彼が元気になれば、フィーナも安心して勉強に集中できますね。」
フィーナは笑顔で大きく頷いた。
その後も、ユリナ姫とフィーナが問題を解き、優人がそれをサポートする時間が続いた。
ユリナ姫は、優人が出す応用問題に奮闘しつつも楽しそうに取り組んでいる。一方のフィーナも、難しい問題に集中していた。その姿を見て、優人は改めてこの時間の大切さを感じていた。
「フィーナも姫も、本当に飲み込みが早いな。1か月でここまで理解できるなんて、感心するよ。」
フィーナは少し得意げに胸を張りながら、冗談めかして言った。
「それは先生が優秀だからかもね。」
優人は「ありがとう」と素直に答えた。
授業の最中、ユリナ姫が、持っていた本からある問題について質問してきた。それは二次方程式に関するもので、次のような問いだった。
「同じ数を2回掛け算して4になる数を答えよ。」
ユリナ姫は、答えが2と-2の2つになるという解説を見て疑問を抱いていた。
「どうして-2も答えになるんですか？同じ数を掛けるのだから、プラスの数だけでいいはずじゃないですか？」
フィーナもその意見に同意する。
「そうよね！だって借金に借金を掛けたらプラスになるなんて、どう考えてもおかしいわ！」
フィーナは若干不機嫌そうに腕を組み、優人を見つめた。
優人はそんな2人をなだめるように手を振りながら言った。
「まあまあ、落ち着いて。この話は、まさに『マイナス×マイナス＝プラス』となることが関係している問題ですね。私の世界では、中学生が学ぶ内容なんですが、やはり最初はみんな納得できなくて不満そうな顔をしますね。」
フィーナはその言葉に同意した。
「それは当然よ。だって直感的には変よね。」
優人は微笑みながら続けた。
「元の世界でも、感覚で理解してもらうか、あるいは暗記しろとだけ言う先生も多い。でも今日は、できるだけ分かりやすく説明してみますね。」
優人は黒板に例を描きながら話し始めた。
「まずは感覚的な話をしようか。例えば、金貨3枚の借金を1回したとしよう。借金だから、これはマイナスになりますね？」
ユリナ姫とフィーナは頷いた。
「そうすると、-3×1は-3。つまり金貨3枚分の借金です。」
「次に、金貨3枚の借金を2回したらどうなるか。-3×2で、-6だね。つまり金貨6枚分の借金になります。」
2人は問題なく理解できたようで、頷きながらついてきている。
「じゃあ、金貨3枚の借金を3回、4回と続けていくと、-3×3で-9、-3×4で-12。借金が増えていくのが分かるね。ここまではいいですか？」
「うん、大丈夫！」とフィーナが答える。
優人はさらに続けた。
「じゃあ次に、金貨3枚の借金を1回返したとしたらどうなるだろう？」
フィーナが自信満々に答える。
「借金を返すんだから、プラスになるわよね？」
「その通り。じゃあ式にしてみると、『-3が1回分なくなる』という意味になるから、-3×(-1)となるんだ。その答えが+3になる。」
ユリナ姫も納得したように頷く。
「同じように、金貨3枚の借金を2回返したらどうなるか。今度は-3×(-2)だから、+6。金貨6枚分のプラスになる。」
フィーナは腕を組んで少し考え込んだ後、「なんとなく分かったような気がするわ」と呟いた。
しかし、ユリナ姫は少し首を傾げながら言った。
「感覚的には理解できるのですが……借金を『返す』という行為がマイナスになるのが、なんだか違和感があります。」
優人は、ユリナ姫が抱いた違和感についてこう話し始めた。
「その違和感はとても大事です。なぜなら、数学は最初に抱く疑問や違和感を解消するための学問でもあるからね。今回の説明はあくまで感覚的なもので、厳密な数学的証明ではない。だから、今からもう少しだけ『証明』らしいことをしてみようか。」
フィーナが少し首をかしげながら質問した。
「証明って何？どうすれば証明になるの？」
優人は軽く頷いて、こう答えた。
「本当に厳密にやるなら、『単位元』や『逆元』、さらには『環』といった数学的な定義が必要になる。でも今日はそこまではやらない。今回は簡易的な証明を見せますね。」
ユリナ姫とフィーナが興味津々で優人の話を聞き始めた。
優人は黒板に式を書き始めた。
「まず、こういう式が成り立つのはいいですか？」
1 ＋ (-1) ＝ 0
ユリナ姫とフィーナは頷く。
「これは、1に-1を足したらゼロになる、という意味です。じゃあ次に、この両辺に-1を掛けてみます。」
優人は式を続ける。
(-1) × 1 ＋ (-1) × (-1) ＝ 0 × (-1)
「（－１）×１と０×（－１）を計算する。するとこうなる。」
-1 ＋ (-1) × (-1) ＝ 0
ユリナ姫が驚いたように声を上げた。
「ここで、出てきましたね。『(-1) ×( -1)』という式が！」
フィーナも頷きながら、指をさして同意する。
「本当だ！これがプラスになるっていう話よね？」
優人は微笑みながら続けた。
「ここで両辺に＋1を足します。」
(+1) - 1 ＋ (-1) × (-1) ＝ +1
「左辺の+1と-1が打ち消し合って、ゼロになる。するとこうなる。」
0 ＋ (-1) × (-1) ＝ +1
「つまり、こういう結論になる。」
(-1) × (-1) ＝ +1
ユリナ姫は目を輝かせながら感心したように言った。
「最初の式から出発して、ここまで導けるんですね。本当に(-1) ×( -1)が+1になりました！」
フィーナはその様子を見ながら口を開け、驚いたように言った。
「なんだか魔法みたいね……どうしてこんなことができるの？」
フィーナは疲れた様子でため息をつきながら言った。
「優人の世界の数学って本当に難しいわね……もう頭がパンクしそうよ。」
優人は微笑みながら、そんなフィーナを見つめて言葉を返す。
「それでも、フィーナはよく頑張ってついてきてますよ。理解しようとしている姿勢は本当にすごいと思います。」
その言葉を聞いたフィーナは少し照れくさそうに「そ、そう？」とつぶやきつつも、どこか嬉しそうな表情を浮かべた。
しかし、そのやり取りを聞いていたユリナ姫が少し不機嫌そうな表情を浮かべた。それに気づいた優人が首をかしげながら尋ねる。
「姫、どうかしましたか？」
するとユリナ姫は顔を少し赤らめながら、真剣な表情で言った。
「それです。」
「それって？」
「フィーナちゃんと数学を教えてもらうようになってから、ずっと気になっていたんですが、どうしてフィーナちゃんは呼び捨てで、私は『姫』って呼ぶんですか？」
ユリナ姫の真剣な問いかけに、優人は一瞬固まった後、少し困ったように笑いながら答えた。
「いや、最初に『姫』と呼び始めたから、それでずっと慣れてしまって……」
ユリナ姫は少し恥ずかしそうに俯きながら、それでもはっきりと優人に伝えた。
「私も、名前で呼んでほしいです。『ユリナ』って。」
その言葉に優人は驚きつつも、戸惑いながら言葉を口にした。
「……ユリナ姫。」
ユリナ姫は少し頬を膨らませて言い返した。
「『姫』はいりません！」
優人はさらに困惑しながらも、勇気を出してもう一度呼んだ。
「……ユリナ。」
するとユリナ姫は、とても嬉しそうな笑顔を浮かべて、優人の目を見ながら元気よく返事をした。
「はい！」
その瞬間、教室には優人とユリナ姫の間にだけ流れる穏やかで温かい空気が広がった。
しかし、2人のやり取りを見ていたフィーナが口元に笑みを浮かべながら茶化すように言った。
「優人とユリナって、なんだかラブラブだね。」
その一言で、ユリナ姫はハッとしたようにフィーナの存在を思い出し、顔を真っ赤に染めた。そして、優人から少し距離を取るように後ずさりし、慌てて話題を変えようと声を張り上げた。
「さ、さあ！次の授業にしましょう！」
今度は、ユリナ姫が優人にこの世界について教える番だ。優人がフィーナとの数学勝負を経て、この世界の知識を深める必要があると感じたため、ユリナ姫に頼んだものだった。
ユリナ姫は、これまで優人に助けられてばかりだった自分が、彼に頼られる立場になったことに喜びを感じていた。そしてその期待に応えようと、張り切った様子で言った。
「今日もしっかり教えますから、ちゃんと聞いてくださいね！」
ユリナ姫の言葉に、優人は笑顔で頷く。
「もちろん。ユリナの授業、楽しみにしてますよ。」
これまでもユリナ姫は、この世界の動植物、文化、国内の地理などについて優人に授業をしてきた。今日はそれらの内容についての確認が始まった。
「これまで教えた内容については、大丈夫ですか？」
ユリナ姫がそう尋ねると、優人は「大丈夫です。」と答えたが、その瞬間、頭の中でいくつかの印象深い話を思い出していた。
優人が最初に驚いたのは、この世界の生物についてだった。エルフ族という長い耳を持つ種族がいたり、頭が3つある犬「ケルベロス」が存在したりすることを知ったときは、さすがファンタジー世界だと思った。
しかし、ユリナ姫の説明を聞いていると、優人の想像とはかなり違っていた。エルフ族は長命で森に住んでいるのかと思いきや、実際には体が弱く短命であり、森の奥深くに隠れて暮らしているわけでもない。また、ケルベロスは凶暴な魔物ではなく、むしろ臆病な性格で、ペットとして飼われていることが多いというのだ。
さらに驚いたのは、この世界には「魔法」と呼ばれる力が存在しないという事実だった。
「呪文を唱えて火を起こしたり、傷を治したりする魔法がないんですよね？」
優人が改めて確認すると、ユリナ姫は頷いた。
「はい。この世界にはそのような力はありません。」
フィーナとの数学勝負で、半透明のディスプレイが現れる数学システムを目の当たりにした優人は、当然のように魔法も存在するものだと思い込んでいた。しかし、ユリナ姫の説明でその予想は裏切られた。
「確かに、誰も魔法を使っているところを見たことがないな……」
優人は納得しつつも、数学システムのディスプレイは魔法というよりも、むしろ科学技術のようだな、と１人で納得していた。
この世界を見ていて優人がもう一つ感じたことは、科学技術の発展が驚くほど停滞していることだった。
確かに、下水道が整備されているおかげでトイレやお風呂が使えるのはありがたい。しかし、それ以外の文明レベルは、元の世界と比べると驚くほど低い。
「数学が発展していないから、科学技術も進まないのか……でも、それだけが理由じゃない気がする。」
優人は心の中でそう考えていた。この世界では数学勝負という制度があり、各国が数学を重視している。にもかかわらず、なぜ数学や科学が発展しないのか。その根本的な原因がわからないまま、疑問だけが優人の胸に残った。
「今日は、アルスタリア王国以外の国々についてお話しします。」
ユリナ姫の言葉に、優人とフィーナが集中して耳を傾けた。
アルスタリア王国は大陸の西側を統治する国であり、その周囲には四つの大国が存在する。
中央の国：リベリオ帝国
「中央にある国はリベリオ帝国といいます。この国はこの大陸で最も大きな国で、国力も非常に高いんです。」
リベリオ帝国の名物は二つある。
・大図書館
リベリオ帝国には、大陸全土の書物を収集している大図書館がある。ここには古今東西の知識が詰まっており、歴史、科学、文化、文学など、あらゆる分野の書籍がそろっているという。
・数学研究所
数学研究所はこの世界で最も権威のある研究機関であり、そこで働く数学者はステータスの象徴だ。アルスタリア王国出身で、数学研究所に所属している人物も少なからずいるとのことだ。
「リベリオ帝国は他国に知識や技術を広める一方で、その影響力を保ち続けているんです。」
北の国：ノルディア連合
「北にはノルディア連合という国があります。」
ノルディア連合は、小国の集まりによって構成されている国家であり、肥沃な大地に恵まれている。
「この国の大きな特徴は、広大な穀倉地帯を持っていることです。農産物の輸出が経済の中心で、主にリベリオ帝国やアルスタリア王国に輸出しています。」
東の国：メカリオン公国
「東にあるのはメカリオン公国。工業が盛んな国です。」
メカリオン公国は、鉱山資源が豊富なため、金属加工や機械製造が非常に発展している。さらに、他国では見られないような時計や精密機械も作られており、その技術力は他を圧倒するほどだ。
南の国：サウザリア王国
「そして南にあるのがサウザリア王国です。この国の最大の特徴は『大賢者の塔』です。」
大賢者の塔は、誰も中に入ることができない神秘的な塔であり、入り口にはこう書かれているという。
「この塔には世界のすべてがある。」
サウザリア王国はこの塔を「世界の真理への鍵」と考え、長年にわたり攻略に力を入れてきた。
「塔の入り口には7つの問題があり、それらをすべて解くことで中に入れると言われています。」
現在、この7つの問題のうち、1問だけが解かれているとユリナ姫は話した。
「南の国が塔の攻略に力を入れている理由はわかりましたが、7つの問題のうち1問は解かれてるんですね。」
優人が尋ねると、ユリナ姫が説明を続けた。
「この1問目は、『初めの問題』として有名なんです。長い間誰も解けなかったんですが、ついに解かれたことで世界的な話題になりました。」
フィーナもそれに同意した。
「私もその問題は知ってるよ。南の国が解答を全世界に公表していたからね。」
ユリナ姫によると、1問目が解かれた後、次の問題が表示されたが、2問目に挑んで間違うと、また1問目に戻る仕組みになっているという。
「その1問目の問題って、具体的にどんな内容だったんですか？」
優人がさらに聞くと、
フィーナがその問題も覚えていると言って、紙に問題を書き込む。
「m^3+1^3=n^3+10^3 となる自然数m,n を求めよ。」
彼女が書き終えると、紙を優人に差し出した。
「どう？ 解けるの？」
優人は少し考えたあと、すぐに答えを出した。
「これは有名なタクシー数の問題ですね。答えは m=12, n=9です。」
優人の即答に、ユリナ姫とフィーナは同時に感心した。
「さすが優人！！」
フィーナが目を輝かせる。
ユリナ姫も感心した様子で言う。
「これって、優人にとっては簡単な問題なんですか？」
優人は苦笑しながら答えた。
「いや、この数の組み合わせなら答えを知っているし、解き方も分かるから簡単に感じただけですよ。でも、もう少し発展した問題になるとさすがに難しくなりますね。」
優人は少し考え込み、ユリナ姫に質問をした。
「ところで、南の国の人たちはこの問題をどうやって解いたんですか？ 私の知識からすると、この世界の数学のレベルでは解けるとは思えないんですが……。」
ユリナ姫は答えた。
「実は、南の国の数学者たちは、1つずつ数字を入力して試していったんです。」
その言葉に、優人は目を見開いた。
「……総当たりで解いたってことですか？ 本当に？」
「はい、そうだと聞いています。」
フィーナも驚いた様子で言う。
「すごい！ 私もブラッククロウとユニコーンの問題を作るときに、いろいろなパターンを描いて確かめたけど、それよりももっとすごい人たちがいるんだね！」
優人はフィーナの言葉に頷きながらも、少し真剣な表情になった。
「これは、答えが自然数だったからよかったものの、もしこれがルートとか、この世界の人たちがまだ発見していない数が答えだったら、いつまでも答えが見つからないことになりますね。」
その言葉に、ユリナ姫も神妙な顔をして頷いた。
「確かに……そうですね。実際、2つ目の問題では、南の国が毎日何百と数字を試しているけれど、まだ答えが見つかっていないんです。」
優人は椅子に深く座り直しながら、心の中で考えた。この世界では、数学が「試行錯誤」や「総当たり」に頼っている面があるようだ。だが、それは効率的な解法を見つけられていないことの裏返しでもある。
「この世界の数学者たちがいつか、もっと根本的な数学の性質や理論に目を向けるようになるといいんだけど……。」
そんなことを思いながら、優人は次の問題の内容に少しだけ興味を抱いていた。
