４ 虚数の表記方法の意味を考察する
④ について
◦ 虚数の表記方法はなぜ指数で行うのか、についての考察
そもそもの前提として、虚数"i"と√-1は一括りにして扱っていいものではありません。両者は全く別の概念だからです。
虚数というのは、要約すると数式の回転の量を表す数値に他の項と区別するためのiをつけて座標の回転を計算できるようにした、数式の回転を司る部分を指す用語、といったところでしょうか。
虚数を扱う座標は複素平面といい、横軸に実数軸R、縦軸に虚数軸i をとり、平面上に数式の描く軌道を表す用途で用いられる座標系とされています。
しかしこれまで見てきたように回転を表すための座標として、直交座標と極座標が融合した座標という仕組みを考慮するなら、そうした軸の取り方は不適切であるといえるでしょう。
虚数軸iは回転量を表しているのですから、理屈的に軸は回転そのものを表している円周の長さをそのまま当てはめなければおかしいのです。
図 P-019_1
下のグラフは水平、垂直を構成する直線軸がどのような性質のものなのかを色分けしたものになります。
右上のレッド(赤色)で引かれた部分が 1/∞ ～ ∞-1/∞ 、そしてグリーン(緑色)の部分が ∞/∞-1 ～ ∞ の領域を表していて、左下の色が反転している部分は底と指数が共に負の領域になっていることを示しています。
左上と右下の正方形と長方形の色が入れ替わっている領域は、それぞれ底のみが負、指数のみが負となっているので、正方形部分が負で長方形部分が正と正方形部分が正で長方形部分が負になっている右上・左下の領域とは正負が真逆になっています。
レッド(赤色)とグリーン(緑色)の領域は、上の極座標グラフに当てはめるとそれぞれ半径1の円周の内側と外側に相当しています。
正方形の正負には回転軸の天地反転と同等の効果があり、お互いに正が順回転(反時計回り)、負が逆回転(時計回り)と回転方向が逆になるという結果をもたらします。
p-019
eの角度が丁度45°になるのにはちゃんとした理由があります。
底の値が1である時、指数にどんな値を入れても1という答えにしかなりません。つまり、指数軸と限りなく平行に近づく底の値が1より大きい数の中で最も1に近い (∞/∞-1)という数なのです。
そして底としても最も大きい値になるのは無限大に他なりません。底に無限大を代入したときの角度は指数が1を超えた段階で無限大以上が確定します。上にある通り、1より大きい数の中で最も1に近い数は (∞/∞-1) になりますから、それが底の軸と最も平行に近い指数の値になります。当然ながら指数でも最も大きい値は無限大ですから、指数軸に最も近い指数がそれになります。
逆に1より小さい数の中で最も1に近い数は (∞-1/∞) になりますから、指数にその数が入るとほぼそのまま底の値を取ることになり、限りなく0に近い値の1/∞では底の値に関係なく限りなく1に近い値を返します。
このように指数直線というのは底が限りなく1に近いときは指数は無限大をとり、底が無限大の値を取るときは指数が限りなく0に近い値を取るので、結果的にその中間の値である45°を取る事になるわけです。
ただし、それは底がaのとき指数は1/a、底が1/aの場合指数はaという関係性を保つ事が前提です。
その関係性が崩れればどうなるかは、下に図解で提示しておきます。
図 P-020_1
図 P-020_2
◦ こうして各要素を一つずつ丁寧に追っていけば、なぜ円の関数がf(θ) e＾i＾θなのかという疑問にも、なぜ回転量を表すのに虚数iを用いた指数の掛け算なのかという点についても自然な流れで答えにたどり着けたのではないでしょうか。
一見しただけでは見落としてしまいがちですが、この数式内の e＾iは、指数部分の i まで含めた部分が指数の底になっています。そして残りの指数部分 θ が変数になっているという点が、この円の関数f(θ) e＾i＾θの核心ともいえる重要な要素となってくるのです。
底であるeに添えられている＾iは実際には底に掛かっているわけではなく、あくまでこの関数の変数の単元単位が"i"である事を示すために置かれているだけです。
p-020
そう考えなければ e＾i＾θのθにπを代入したと仮定すると、e に＾i と＾θ が両方掛かることになりますから、真数として出てくる値は-1(180°)ではなく、＾i ×＾θ の結果である＾-i (270°)にしなければおかしいはずです。
しかしそうなっていないという事実こそが、実際には i は e に掛かっているわけではない事を示しています。
p-021
