１ 1／∞の概念を定義づけする
① について
◦ 数直線上の無限大とそれ以外の発散の違いとは
数直線上の無限大とそれ以外の発散の違いを簡潔に言い表すなら「等間隔で増加していった果てに目標となる点に極限まで近づいていく(収束する)」ものが数直線上の無限大であり、「目標となる点を持たないまま増加し続けた結果、どこまでも増え続ける状態」が増加方向に発散する数であるそれ以外の無限大とは性質が全く異なります。
※ちなみに発散にはもう一つあって、「振動」がそれに当たります。
現代の数学では、収束することなく際限なく増えていく数を総じて「無限大に発散する数」として同じグループの集合として分類しています。少なくとも高校の数学の授業ではそう教えていました。
ですが、「無限大に発散する数」とひとくくりにされていた中に、「収束する無限大」
(正確には収束ではなく漸近、ただし平行を超えないという制約あり)も含まれているのは、無限大の概念を定義する上で結構大きな障害ではないかと考えます。
というより、「収束する無限大」は特定の値を指しますが、ただ「増加方向に発散する数の総称である無限大」は値を限定できません。条件が変わるごとに無限大の値も違ってくるわけですから、それも当然といえば当然の帰結です。
にもかかわらず、数学では無限大を特定の値かであるように扱っているケースが見受けられます。これは無限大の定義に不備がある事を物語っている象徴的な出来事のように思われます。
これでは「無限大」が決まった値ではなく、概念としての数値という実態の持たないものだからとしても、あまりにもぞんざいに扱われすぎているように感じます。
◦「数直線上の無限大」の概念を視覚的に把握する。
前置きはこれくらいにして、早速「数直線上の無限大」をどのように定義しどのような性質を持つ概念とするのか、そしてなぜ無限大なのに一点に収束するといえるのかを解き明かしていきます。
解説を始めるに当たって注意事項を一つ。
同一平面上にある二本の直線とそれらに付随する補助線という点に着目して解説を進めていきますので、どのように図を描くのかという点を重点的に取り上げていくことになるでしょう。
p-010
これは通常の数学とは逆に、まず先行して図解モデルを作り、そのモデルを元にして数学的な概念に直す――という手順を取るためです。
繰り返しになりますが、これは数学の常識とは違ったアプローチによる考察ですので読みづらいと感じる向きは多々あるとは思いますが、その辺りはあくまでも門外漢の考察ということでご容赦いただけると幸いです。
ステップ①
まず平面座標上を任意に移動する点(0次元)を用意し、その出発点をOとします。
このO点、任意に移動するといっても後から力を加えられることはない、経過時間に対して等間隔で距離が増加していく「慣性運動」を続ける事を前提にした動き、要するに物理学でいうところの「等速直線運動」を想定してください。
こういう前提を事前に決めておくことで、この点Oは平面上を規則正しく経過時間に対して等間隔かつ同一方向に直線の軌跡を描いて進んでいくことが定まります。
ステップ②
次に同じ平面上のO点とは重ならないように、離した位置にどこまでも続く直線(一次元)を引きます。そしてこの果てのない長さを持つ直線をY線とします。
ステップ③
O点からY線への最短距離となる方向はO点からY線に下ろした垂線と重なります。
この最短の直線となる垂線と等しいO点からY線を結ぶ直線をX線とします。
ステップ④
ステップ①～③の手順を追っていくとO点から伸びた線Xと直交する線Yの位置関係が定まります。
ここからお互いに直交する線X、線YをそれぞれX軸、Y軸と捉えることでXY平面を形成します。
こうした経緯を経て作成されたこのXY平面が、点Oと線X、線Yが同時に存在する同一平面にあたります。
図 P-011_1
p-011
ステップ⑤
点Oを線Yと異なる慣性系と捉えた場合、点Oは線Yに対して時間経過に伴い相対的な位置が変化していきます。
その位置変化が描く軌跡は、進行方向を示す角度と単位時間あたりの位置変化量(移動速度)に経過時間を掛けた移動距離と完全に重なります。
図 P-012_1
時刻 t_0 の段階でXY平面上の座標X0にあった点Oが、時間経過とともに移動していき線Y(Y軸)と交わる様子が、図に起こすことで (上図)視覚的に捉えられるようになるために誰にでもイメージしやすくなったのではないかと思います。
ステップ⑥
点Oの移動方向が線Yとの最短距離(点Oから発するY軸に対して垂直となる直線※同直線とY軸との交点：X_r)をとる場合の進行方向を角度0°として、この直線との移動方向の角度差を角度θと置くと、点Oと点Oの進路とY軸との交点：aとY軸への最短距離の交点：Xrとの三点を結ぶO . a . X_rを頂点とする図形は、斜辺と隣辺が作る角度がθとなる直角三角形になります。
図 P-012_2
このモデルを基に経過時間t を変数とする関数を作成しようとする場合、経過時間を等間隔で刻むものとして想定するためには角度θの大きさを時間変化させる方法か、Y軸の長さ(対辺) v_θt を移動距離として調整する方法かのどちらか片方を選ぶ必要があります。
※斜辺の長さ v_ot は角度の変化に速度が影響を受けてしまい (速度が変化する)、等間隔とならないために除外されます。
p-012
角度θの大きさが時間変化するというのは、時計の針をイメージしてもらえば理解しやすいかと思います。アナログ時計は秒針や分針なら90°を15分割して、それを４回繰り返すことでそれぞれ60をカウントすると一周回りして分と時間が繰り上がり、時針なら90°を三分割して、それを４回繰り返すと一日の半分(午前・午後)が過ぎることを表しています。
趣旨に合わせてここではv_θt を移動距離とする方を採用します。
ここからは前提の確認と検証を加えながら、ここまでの話を整理しておきます。
図 P-013_1
図 P-013_2
図 P-013_3
このモデルを使用するにあたって最も注意しなければならない点は、1、2、3、4、・・・と実際に等間隔で長さが増加していくのだとしても、それは加算されてそうなっているわけではないという事実を、頭の中でしっかりと整理しておく必要がある事です。
見かけ上数値が1つずつ足されていっているように見えてはいても、こうした場面での仕組としては1×1、1×2、1×3、１×4、・・・と、単元単位である1を何倍した数なのかという、絶対値としての数ではなく割合としての意味合いが本来のこの場合の趣旨に沿った扱いになります。
また、1を挟んで大きいか、小さいかという部分で扱いが変わってしまう点も見逃せません。
1より数が大きくなる場合、1は最小値を表す単元単位となりますが、1より小さい数の場合は、1が最大値を表す単元単位となるためです。
図 P-013_3は両者のそうした関係性を簡単に説明したものです。
要は、1より大きい値なら1に掛けた数、1より小さい値なら1を割った数であり、両者は共に1を基準にした割合になっているので、割合が同じだった場合、互いを掛け合わせると結果は必ず1となる、という仕組みを三枚の図を使って視覚化しています。
それは同時に、双方を掛け合わせて1になる二つの数を含んだ二つの直角三角形がお互いに相似である証明にもなっています。
そこからさらに思考を発展させていけば、1より大きい値の最大値の概念を無限大と定義した場合、相似形の法則に照らし合わせることで1より小さい値の最小値が無限大分の1(1/∞)と定まる事も理解できるのではないかと思います。
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前後してしまいましたが、図 P-013_2の補足にあるように進行方向で重なることがなくても、反対側に伸ばしていけば逆方向に交点が作られます。
そのため、完全に重ならないケースというのは直線と平行の軌道をとる場合のみに限られることになります。
直線との最短距離(垂直に交わる軌道)の進路を0°、直線と平行の進路を90°と設定するなら、進行方向と反対側は180°を足した270°が当てはまります。
90°から270°までの領域に関しては、ちゃんとそうなる理由が存在しています。
ただ、その理由を説明するにはさらに別の概念を引っ張って来る必要があり、今の段階でそこまでやるとさすがに本筋から外れてしまうので、ここでは触れません。
とにかくこれで1、2、3、4、・・・という数量を、長さという空間的表現を経由して経過時間を変数とする関数に変換する手順は完了です。
ここからは無限大(∞)を三角形の無限遠にある頂点と同等の意味として扱い、それ以外の意味を持たせたものに関しては全く別の概念として、ここで扱う無限大からは除外させてもらいます。
一度空間的表現に変換するため、副次的に次元という概念で語ることができるようになるのも後々に大きな意味を持つ効果を加えてくれます。
数を長さと速度と経過時間という要素に分解することで、経過時間(t)を変数とする関数f(t) として扱えるようになっていますので、進路と軌道(軌跡)という概念にも考察の範囲を広げることが可能になっているのです。
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