空間を数式化するために
① 数学の世界には、おそらく一般には全く認知すらされていない、驚くような常識が存在しているようです。私自身も専門家から直接聞かされるまで、そのような見解が存在していたなんて意識したことすらありませんでした。
それが「”１／∞”という概念など存在しない」という説が数学界の常識だったという衝撃的な事実です。
これは大学で幾何学を教えていた元大学教授(数学者)に直接言われたことなので、誤解の生じる余地のない厳然たる事実です。
個人的な見解で恐縮ですが、おそらく数学における未解決問題のいくつかにおいて、解決に至らない原因はまさにこの点にこそ起因していると考えられます。
１／∞という概念を理解するためには、いくつかの条件付けが必要になります。
現在の∞(無限大)の定義をそのまま適用しては整合性がとれなくなる部分が出てきてしまうので、それを防ぐための処置を施すというひと手間かける必要があるわけです。
∞(無限大)に遡ってその定義を厳密に捉えようとするなら、無限大という概念は数としての範囲を広げすぎているところに問題の核心が存在しているといえるでしょう。
１、２、３、４・・・と規則正しく数値が増加していく数直線上の果てなき先にある値を指す場合の無限大と、単に「大きくなる方向に発散する数」の総称として使っている無限大とは区別して扱わなければいけません。なぜなら数直線上の果てにある無限大は、それ以外のものとは違って一点に収束するという性質を持ち合わせているからです。
(正確には直線での漸近線、「漸近収束」という概念があればそれが一番近いでしょう)
結局のところ、両者の区別をしていない事に起因する錯綜を解消しない限り、未解決問題の根本的な解決にはどうやってもたどり着くことはできないでしょう
② ①で説明した数直線上の無限大および無限大分の一 (∞ ・ １／∞)という概念は、それ専用のグラフを作成することで概念の視覚化を可能にします。
多少特別な手順を加える必要はありますが、グラフの作成方法に関してさほど難しく考える必要はありません。実際に１／∞という数に変換して扱う手法を私たちはすでに知っています。
その手法とは、簡単に言えば「指数の表記方法を適用する」ただそれだけです。
四則演算の延長でa×a×a×a×a・・・(aをx回掛ける)という、要は累乗計算の計算式を表すのにa＾xという表記方法を使いますが、このときaを底、xを指数と呼びます。
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指数の決まり事としてxが整数でx >0の時はそのままの表記で問題ありませんが、xが整数でx＜0のとき、a＾-xは１／a＾xという数になることが知られています。
たとえばaが２でxが -３の場合だと
２＾-3＝１／２＾3＝１／２×２×２＝１／８
となります。
またx＝0のとき、a＾0はaがどんな数であってもa＾0＝１になり、x＝1のとき、a＾1＝aとなるので、指数が１のときは底の数値であるaがそのまま当てはまります。
こうした指数の性質を利用した、一本の数直線上に-∞から∞までを含んだ指数直線が、１／∞～∞(無限大分の１から無限大まで)のグラフとなるのです。
図 P-006_1
③ ①②から波及する影響を受ける極限(limit)の取り扱いも、それに連動して一部変更させる必要性が生じます。というのも∞(無限大)には極限の元々の趣旨からして同様の性質を含んでいるため、n→∞では同じ操作を二度掛けするよう指示しているようなものだからです。
逆に言えば、∞(無限大の記号)をうまく用いれば、極限記号など使わずとも同様の意味をもつ数値を表すことができるということでもあります。
また、極限には致命的ともいえる欠陥が放置されたままになっているにもかかわらず、修正されるどころか指摘されている気配すらまるでありません。
その欠陥とは、例えば0という数の極限を想定する場合、マイナス方面から近づける場合とプラス方面から近づける場合では位置と近づく方向の正負が逆になるはずですが、極限を扱う際にその点についての規則が定められている形跡はありません。
それらの問題を踏まえた上で新たに数直線上の∞(無限大)という値を定義するならこうなります。
図 P-006_2
１を割って無限大になる数は １／∞ であり０で割るという行為はそもそも数の性質からして成立しないことは自明の理です。
このような重大な欠陥を放置したままにしている現状、それこそが数学の未解決問題が未だに解き明かされない最大の要因です。
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この問題に直接関わりがある重要なものでは e (ネイピア数)でしょう。
図 P-007_1
マイナスを掛けることで分母と分子が反転するのは、ネイピア数が指数に関連する概念である証であるともいえるでしょう。
(ただし１は１/１の事であり、反転して分母と分子を入れ替えても１のままなので、目に見える変化は起こりません)
④ 指数直線では数直線上の最小値-∞を１/∞に変換するため、0およびマイナスという値は存在しません。そのためどのような値であれ、いわゆる絶対値で表せる領域内に限定した座標上に収まります。
では、指数直線では座標上に0以下を表現できないのかといえば、そのようなことはありません。
直線上での数の大小は１/∞～∞までしか存在しませんが、そこに回転という要素を加えることで、逆方向に伸びるような現象も表現できるようになります。
ただし0が存在しないため、プラスとマイナスは同じ直線上にあるように見えても連続しているわけではありません。
図 P-007_2
なぜこのような座標で表すべきだと考えているのかといえば、虚数が累乗(指数)の掛け合わせの仕方を採用しているためです。
本来なら角度の表現は i = 90°なので 180°= 90°+ 90°= 2 × 90°= 2i と表現するのが自然な流れです。
ですが虚数で角度の変化を表現する場合、180°= 2i ではなく、180°= i＾2 と表記します。これが上図のように i , k , l の軸を直線方向ではなく三方向の円周にそれぞれ当てはめるのが相応しいと考える根拠です。
また同様の理由から i ≠ √-1 です。
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i を絶対値だとするのは誤りで、直角ないしは(半径に対して)円周の１/４の比率とするのが正しい解釈なのだと、これまで見てきた経緯から導けます。
i =τ/ ４（半径１：i 約１.５７） ※τ= 2π
そしてi = 90°なので i ＾4 = 360°(一周) になりますから、虚数は４乗で１桁上がる
４進法とするのが当然の帰結だと思われます。
⑤ 弧度法との関連で、角度と円周の長さを同等のものと扱う事でi を長さの単位として認識できるようになると、速度という要素を絡めることで、今度は時間tを変数とした関数の数式で表すことができるようになります。
角度をθ、それと連動した円周上の長さを同じくθとして、単位時間あたりの速度をv_θtと表記するなら、θとv_θとtの関係は θ= v_θt (長さ=速度×経過時間)という等式で表されます。
図 P-008_1
⑥ ⑤で触れたtを変数とする関数で、底が a = e またはa =１/e のとき、vθt の描く軌道は真円となります。
軌道が真円となるa = e とa =１/e の両者の違いは、お互いの回転方向が逆向きになるという形で現れます。それは、見方を変えれば内と外とが反転したために起こった現象である捉えることもできます。
図 P-008_2
このように、一つ一つの要素を丹念に追っていくことで浮かび上がる関連性の中に、空間上の上下、左右、前後の三次元に続く、第４の次元の姿を掴むヒントが隠されていると考えます。
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⑦ ざっくりとでしたが①～⑥までで、四則演算から始めて円周を関数で書き表すというところまでの過程を追ってきました。改めて、-∞、-１、-1/∞、０、1/∞、１、∞ という値を正確に定義する意義と重要性の片鱗を感じて頂けたのではないでしょうか。
さらにi , k , l に円周率といった数は半径に対する比率として機能する概念である事を把握することで、空間と座標に関しての理解を促してくれると考えています。
少なくとも、そういう願いを込めてこのような考察をまとめています。
ネイピア数 e の意味と役割については、簡潔な説明が難しいためにかなり大雑把な説明になってしまったことはご理解ください。
ただ、これに関しては後ほど図解入りで詳しく解説します。
これまで何度も出てきた「指数直線」という概念に密接に関わってくることもあり、非常に重要な内容になる予定です。
⑧ ０←１そして１→∞という違いには(特に円や球を扱うときには)確実な見極めを必要とする場合があります。その代表例が万有引力です。
これに関しても後ほど念入りに解説する予定ですが、こちらも非常に重要な内容になるでしょう。
では次ページより①～⑧について具体例を交えながら、より詳細に説明していこうと思います。
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