13A 番外編 四元数の応用 (四元数を使って運動を数式で記述する)
2-5A(番外編) 四元数を使って運動を数式で記述する。
☆ 空間論を応用して回転運動の解析を行い、数式を用いて同じ動きの再現を目指す。
ここまでは三次元球面や四次元超立方体など図形モデルを作成したり、次元早見表の作成や四色問題の解析を行ったりと図形を使った考察を主軸にしてきました。
空間論が絡む問題の全てを解明できたとは思いませんが、図形の形状を再現したり性質を調べたりという方向性での考察はここで一区切りにして、次の項からは空間内の運動に関する問題を考察の主軸に方向転換します。
ですがその前に、こまでの考察を絡ませた頭の準備体操的なことを先にこなしておこうと思います。
やることは単純で、前に突き出した右手をぐるぐると回す運動を解析して数式に直すという、ただそれだけのことです。
では早速始めましょう。
最初にしなければいけないことは、現在の四元数の扱い方には致命的な不備があることを認識することでしょう。
では四元数の何が問題なのか、そこから始めようと思います。
図 P-060_1
i j = k のとき、i j k = -1 ですが、i j = -k のならi j k = 1 となりますが、これはどちらも間違いではありません。
四元数を最初に発見したハミルトンが前者を採用したため、その並びで成立する法則のように思われがちですが、四元数の原理を理解すれば四元数における正負とは向きと位置関係がどのように干渉し合うかという、お互いの関係性を表現しているものに過ぎないのだと納得できるはずです。
そして、両辺をイコールで結んであっても、それは座標に関しての部分に対して限定的に適用できるだけで、向きや位置関係などの状態まで含めると全然イコールではないのだということがお分かりいただけると思います。
そういう意味では四元数は多くの問題点を孕んでいるといえます。
図 P-060_2
p-060
だからといって四元数の数体系が無価値だなどというつもりは毛頭ありません。
むしろ、四元数が発見される前までは空間はただ座標のみで表現されていて、時間を変数とした位置や方向の変化、時間経過と位置を連動させた軌跡といった諸々はきれいさっぱり切り捨てられていたのですから、四元数の発見は数学史において間違いなく偉大な功績といえるでしょう。
ただ、現段階では体系的に完成にはほど遠く、このまま現実に適用するには致命的な不具合が多々存在しているというのもまた事実です。
現在は不完全なものだと認識した上で、では不完全ながらどのように運用すべきなのか、さらに将来的にどのような体系にまとめるのか、いずれ・・・できれば近いうちにそのような論戦が活発に交わされるような空気になればよいなと思います。
前置きはこのくらいにして本題に入りしょう。
これからやろうとしているのは腕を前にしてぐるぐると回し続ける運動を、時間を変数とする関数で記述することです。
一見、非常に簡単そうに思えるかもしれませんが、実はこの運動、空間の仕組みを理解するための助けとなるいろいろな示唆を含んでいるのです。
それでは、早速対象となる運動の解析をしていきたいと思います。
図 P-061_1
図 P-061_2
図 P-061_3
図 P-061_4
駆け足ですが「前に突き出した腕を回し続ける運動」の解析と、時間ｔを変数とする関数で表すための手順を紹介してきました。
ただ、現在の数式の約束事の中に図 P-061_1の下段のような二つの運動が同時に作用して合成結果が実際の運動になるような場合を想定した表記に関する決まり事が存在していません。
数式とは、基本的に左から右に順に計算することを前提として記述されるという仕組みで成立しているためです。
そのため、関数で記述するために必要な要素を提示したり運動の仕組みを紹介することはできても、実際の関数で表すことは上記の問題に対して何らかの決まり事なり方針なりを示してもらわないうちは実現不可能と言わざるを得ないのです。
p-061
付け加えて、この考察は地面の上に立っているという条件下での運動であることも明記しておく必要があります。
地面が座標の基準になっているため、回転運動が x 軸 y 軸 z 軸との位置関係に与える影響を考慮に入れていませんが、これが無重力空間のように座標の基準点を持たない条件下での運動であったなら、回転運動が座標軸自体を動かしてしまうという現象も考慮すべき要素に含まれてきます。
図 P-062_1 (図 P-032_1再掲)
図 P-062_2 (図 P-032_2再掲)
惑星が恒星の周りを周回する公転運動は、当然ながら無重力空間下においての恒星と惑星のお互いの万有引力による影響のみを考慮したものになりますから、地表での運動を想定した場合では除外していたこうした要素も新たに付け加えて考えなければ正しい仕組みの理解に到達することなど到底、不可能であると思われます。
というわけで、公転軌道を題材とした問題に移る前に、問題提起を兼ねて番外編という形で、現状で判明している問題点について、回転運動の解説とともに提示させてもらいました。
※次元に関係した考察は前回までで一区切りです。
解説のための作画素材を作成する作業のため、次回以降の投稿はしばらく先になります。
次の投稿まで長い期間空くだろうと予想していますが、目次にある題材分は完成させるつもりですので気長にお待ちください。
(解析自体はほぼ終わっているのですが、作画量が多い上に参考にするものがない無の状態から試行錯誤しながら作画しているので、それなりに時間がかかってしまうのです)
では次回の投稿でお会いしましょう。
p-062
