13 四色問題 (空間の拡張・上下、左右、前後にという三次元に「内外」という概念を組み入れて四次元化した後、次元を一つ除外して平面(二次元)に「内外」という要素を加える)
2-5 四色問題
☆ 空間の拡張・上下、左右、前後にという三次元に「内外」という概念を組み入れて四次元化した後、次元を一つ除外して平面(二次元)に「内外」という要素を加える。
前項の最後に「どんなものであれ、それが成り立っている仕組みを理解することこそが起こっている現象を理解する一番の近道なのではないか」という言葉を結論代わりに残して締めましたが、この「四色問題」はまさにその言葉が示す典型的な例だと思います。
※ 四色問題はすでに解決済みとされているため、現在では「四色定理」と呼ばれている問題で、「境界線によって囲まれたいくつかの領域からなる平面図形があり、境界線の一部を共有する（隣り合った）領域は異なった色で塗らなければならないとしたとき、4色あれば十分である」(Wikipediaから引用)という命題の証明という試みを指してそう呼びます。
四色問題を理解するための鍵は色分けされる面の形ではなく、仕切りを作っている境界線の出発点となる「接点の位置」です。
面と面を区切る境界線の形を直線にまで単純化してしまうと、仕切り線の種類の総数が予め限定されてしまっている事実にぶつかります。
何もない空間に仕切りによって境界を作るには、その空間より一次元低い仕切りが必要になることは2章3項の「次元早見表」作成の過程ですでに詳しく解説しています。
逆の見方をすれば、境界の内側には仕切りより一次元上の空間が作成されるということでもあります。
※点(０次元)で区切れば線分(一次元の空間)が、線(一次元)で区切れば面(二次元の空間)が、面で区切れば立体(三次元の空間)がその区切りの内側に生まれる、という話です。
この項ではそこからさらに話を進めて、上記のような過程を経て生まれた空間を分割するという工程に移ります。
とはいっても四色問題では平面(二次元)上のみで完結する題材であって、それ以上の高次元は考慮していません。
その前提で話を進めていきます。
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三次元空間は直交する三本、左右・前後・上下の各軸に沿って拡がる空間ですが、今回の検証では上下という方向を除いて左右と前後の二方向の軸と内側と外側というもう境界に囲まれた領域という一つの次元を加えた三種類に限定された場合、どのような制約が生まれるかという論点に集約します。
要は、平面全体から境界線によって切り離された領域(内側)をどのように分割すれば一つの領域が同時に接する他領域の数を最大にできるか、ということを考えれば自ずと求める答えに導かれる――という実に単純な問題です。
最初の方に出てきた、無限大を定義するという題材で「二本の直線が平行であった場合、両者の接点は生まれない」という説明をしましたが、この問題はその性質を利用するだけで恐ろしく簡単に解けます。
無限遠まで伸ばさなくても、途中にある外側と内側の領域を分ける境界線が二本の接点を妨げてしまうため、領域内で自然と同じ状況が生まれてしまうからです
では例によって図を使って説明していきます。
図 P-058_1
図 P-058_2
図 P-058_3
ちなみにですが、四色問題の解明に利用している「遠近法の仕組み」というのは以下のようなものです。
図 P-058_4
一言で遠近法といっても、その技法は一つではありません。
「透視図法」
「空気遠近法」
「画角の取り方」
「焦点距離」
など、映像制作という分野では遠近を表現するために多くの手法が駆使されて画面作りが成されているのです。
p-058
図P-058_4ではそのうちの一つである「透視図法」の中の、消失点が生まれる仕組み・消失点を置くべき場所とその理由という２点のみに焦点を当てて至極簡単に解説しています。
遠近法の手法の一つに過ぎない「透視図法」だけでも、本格的に理解しようとすれば何冊にも渡って取り組むようなものですし、自分で言うのも何ですが上の一枚の解説図を見ただけでは全く何のことやら分からないという印象を持つ人がほとんどだと思います。
ですが、「四色問題」の理屈を知るには、最低限この仕組みくらいは知っておかなければ話になりませんし、この仕組みが現時点において数学の定理に含まれていない以上、「証明」という方法でこの問題を解き明かすのは今後もおそらく不可能でしょう。
それがこの「四色問題」が長い間未解決だった理由であり、すでに解かれているとされる現在においてさえ、いまだに未解決だと主張する人が一定数以上いるという現実が存在する理由も、「なぜそのような現象が起こるのか」という仕組みの解析という部分において彼らを納得させるだけの理屈が示されていない点に原因があるのだろうと考えています。
p-059
