７ １～６のまとめ
⑦ について
◦ ①～⑥までのまとめ
① 「漸近収束」という当然のごとく存在していると思い込んでいた概念が、実はこの世に存在していないという話をごく最近になって知りました。
この「漸近収束」という概念がないことで生じる致命的な不具合の最たるものが、数学の世界では1/∞という概念が知られておらず、0と同等に扱われてしまっていることです。
漸近収束について、直線と直線から離れた点から伸ばした直線との交点という図式を使って定義づけし、そこから∞(無限大)と1/∞を再定義していきます。
図 P-029_1
漸近線とは双曲線などで見られる、曲線のグラフが遠距離になるにつれて限りなく近づく直線の事をいいます。
曲線と直線の両者は決して交わることはありませんが、その値が最小になる地点は無限遠という概念として認知されています。
漸近収束という概念は、既存の漸近線の概念にはない要素を加えたもので、無限遠以外に両者の距離が限りなく0に近づく点が存在するというものです。
同様の関係性を持つ数式には必ず適用すべきではないかと考えています。
現実的にどのようなものが存在しているか、いくつかの実例を挙げておきます。
図 P-029_2
では漸近収束の概念を踏まえた上で無限大という数を再定義していきます。
やることといえば、任意の点から離れた場所に伸びる直線に向かって直線を伸ばし、元の直線と点から伸ばした直線との点から交点までの長さと進入角の関係性を明らかにする事です。
そこからさらに関連する様々な事柄に、判明した法則性を適用していけば数直線上における無限大の概念を、発散する値などではなく特定の地点に集約するという制限が加わるものにすべき理由が見えてくると思います。
図 P-029_3
図 P-029_4
p-029
数直線における無限大はゼロ地点からもっとも離れた地点となる無限遠と同じだとすると、図 P-029_3のようなケースを想定することで無限遠の概念を視覚的に理解できるようになります。
図 P-029_2で紹介した漸近収束の例では収束する点は直線上に存在していました。ですが無限遠の収束する地点を割り出すために必要なのは、距離ではなく角度となっています。
手順1 任意にとった点Oと、点Oに重ならない直線Yと点Oを通る直線Yに平行な直線の2本の直線を用意し、点Oを通る方の直線をY軸とします。
手順2 点Oから線Yに最短距離を通る直線Xを引き、これをX軸とします。
手順3 点Oから直線Yに対して直線を伸ばした上で直線Yとの交点をとり、最終的に最短距離(直角)から平行になるまで角度を変化させます。
手順4 手順3とは逆に平行(角度0°)から最短距離(直角)になるまで変化させながら直線を伸ばしてその交点をとっていきます。
上記の手順を経てその変化を追ったものが図 P-029_3にまとめた一連の図になります。
左上の図では、最短距離(直角)から徐々に平行に近づいていくに従って、交点が点Oから遠ざかっていく様子を表しています。
完全な平行になってしまうと交点が作られないので、極限まで平行に近づく角度をとった時点の交点の位置が無限遠であり、その場合の最短距離に対する無限遠までの長さの比率を実質的に無限大の概念にするのが相応しいだろうと思います。
右上の図はその逆になっており、角度を平行から最短距離に近づけた概念図です。
こちらは最短距離との交点からの距離が直角に近づいていくに従って徐々に短くなっていき、完全に直角になれば距離0、つまり交点ではなく二本の線自体が完全に重なり合った状態になります。
図 P-029_4の上の一連の図は角度が45°の状態を挟んで平行に近い交点で作る三角形と垂直に近い交点で作る三角形の両者が、分子と分母が同じ数になる時お互いに相似関係にある事を説明しています。
ここから判明する事実は、平行に近い方の最大値が無限大であるとするならば、直角に最も近い場合の長さは両者の関係性から1/∞(無限大分の1)になるということです。
そしてその関係性が成立するとき、1を超えた数の数え方と1を割り込んだときの数
の数え方は同じにはならないということを示したのが、図 P-029_4の下側での説明図です。
p-030
1を超えた数では1×1_ 1×2_ 1×3_ 1×4_・・・・・・と等間隔で増えていくのに対し、
1を割り込んだ数では1/1_ 1/2_ 1/3_ 1/4_ ・・・・・・と1を割った比率で減少していく様子を下の図は示してくれています。
1を割り込んだら単位が0.1に変わり、0.1を割り込んだらさらに0.01に変わるのだと考えている人は結構多いのではないかと思いますが、それが誤りなのだということはここまで検証を進めてきて判明した事実だけで判断しても、断定してかまわないと思います。
本来の趣旨に立ち返ると、無限大は1/0に漸近収束した値ということであり、1/∞(無限大分の1)なら0/1に漸近収束した値とするのが無限大の概念として最も適切だろうと感じます。
そうした観点から、ここから先は1/0に正方向から近づく場合なら∞(無限大)であり、負方向から近づく場合なら-∞(マイナス無限大)に、0/1に正方向から近づく場合なら1/∞(無限大分の1)であり、負方向から近づく場合なら-1/∞(マイナス無限大分の1)として扱っていきます。
② ①を踏まえた上で、指数直線という概念を定義付けします。
こちらは概念そのものが今まで存在していませんでした。
図 P-031_1
ここで肝となるのが0と1の捉え方です。
指数直線の直線上に置かれる数値は真数ではなく指数になりますが、直線の長さは0/1～1/0とし、図 P-029_4の下段に倣って0/1～1/1と1/1～1/0に分けて、前者の指数にマイナスがつく範囲は比率で、後者は等間隔に数値を配置していきます。
指数が0のとき、底がいかなる値でも真数は1になります。逆に底が1のとき、指数にどんな数を当てはめても真数は1になります。
それに加えて、指数が1の時は底の値がそのまま真数になりますが、それだと指数が-1のときはどうなるかという問題が発生します。
なぜなら指数には、指数にマイナスがついた数値は分母と分子を入れ替えるという指数の法則に則った決まり事があるからです。
1/1であれば分母と分子を入れ替えても1/1のままになるはずですが、そうすると底も1にしておかないと分母と分子を入れ替えても同じになりません。
p-031
ですが、底が1なら指数がどんな値をとっても真数は常に1のままになるはずです。
この矛盾を解消するために施した工夫が1を∞/(∞-1)と(∞-1)/∞の二つに分けることです。
これはある意味、極限の1/1バージョンといったところでしょうか。
③ ③ではまさに極限がメインテーマになっています。
とはいっても図 P-031_3の上に載せた四つの極限の式にこちらのほぼ全ての主張が含まれていますのでわざわざ繰り返す必要はないでしょう。
④ ここでは、虚数について既存の定義とは全く別角度の視点から回転という現象を根本からとらえ直し、虚数の実情に合った役割を見直すことでその本質的な性質の解明を試みています。
図 P-032_1
図 P-032_2
図 P-032_3
詳しい考察の経緯は④を見てもらうとして、結論としては上の三枚の図にまとめてある説明の通りです。
虚数の働きはこれだけ理解できれば、現実に見られる虚数が絡むほぼ全ての現象を説明可能になります。
⑤ 虚数の回転という性質に焦点を当て、経過時間を変数(t)とする関数の式に置き換える試みを行っています。
弧度法との関連で、角度と円周の長さを同等のものと扱う事でi を長さの単位として認識できるようになると、速度という要素を絡めることで、今度は時間tを変数とした関数の数式で表すことができるようになります。
角度をθ、それと連動した円周上の長さを同じくθとして、単位時間あたりの速度をv_θと表記するなら、θとv_θとtの関係は θ= v_θt (長さ=速度×経過時間)という等式で表されます。
p-032
図 P-033_1
図 P-033_2
時間経過と共に円周上を移動する運動の軌道を時間の関数として記述したf(t) e＾i＾(v_θt)
のそれぞれの要素についてここまで個別に解説してきました。
e＾i がセットで指数の底である事、指数 ＾(v_θt) のうち＾(v_θ) が円周上を移動する速度で時間tを掛けることで円周上を移動した距離となり、特定した時間での軌道上の座標位置を割り出せるようになる仕組などについて、かなり踏み込んだ考察ができたのではないかと思います。
⑥ ⑤で紹介した関数をグラフ上で表し、時間経過による変化を可視化しています。
話は少し横道にそれますが、放物線には大小の差があるだけで全て同じ形をしているという事実が存在しています。
これは放物線が初速と加速度という二つの運動の合成であるために起こる現象です。
図 P-033_3
円周の軌跡を描く数式を、経過時間を変数(t)とする関数f(t) e＾i＾(v_θt) に変換する作業を⑤までの行程で見てきましたが、円周上を移動する点の速度を一定だと見なす根拠は上の図 P-033_3の下段で説明してある通りです。
これで事前準備は完了です。
ここから回転運動を表す関数f(t) e＾i＾(v_θt) のグラフを作成していきます。
図 P-033_4
図 P-033_5
時間のt 単位は円周を進む距離に合わせて、i の長さを移動するのにかかる経過時間をグラフ上では1に設定しています。
現実の時間を当てはめる場合には、グラフ上での単位時間に円周の1/4の長さを移動するのに要する時間を掛ければ実際の経過時間( t )を求めることができます。
p-033
P-033_5の2つのグラフは、円軌道が描かれるx y平面を天頂方向からではなく横から見た図で、それぞれ上図がx軸を下図でy軸を縦軸にとり、横軸にはどちらも経過時間(t)をとっています。
横軸の上には経過時間で円周上を移動した距離を参考に載せています。
すでにお気づきでしょうが、上図がcosθと下図がsinθの三角関数のグラフと全く同じものになっています。
こうして視覚化した経過時間を変数(t)とする関数f(t) e＾i＾(v_θt) のグラフから、cosθはこの関数が描く軌道のx軸成分であり、sinθは円周上のy軸成分であることを読み取ることができるようになりました。
両者を合わせて座標をとれば、それが関数f(t) e＾i＾(v_θt) の円周の距離θ時点における座標ということになるわけです。(x座標：cosθ, y座標：sinθ)
図 P-034_1
p-034
