６ ５で紹介した関数をグラフ上で表し、時間経過による変化を可視化する
⑥ について
◦ ⑤で紹介した関数をグラフ上で表し、時間経過による変化を可視化する
話は少し横道にそれますが、放物線には大小の差があるだけで全て同じ形をしているという事実が存在しています。
これは放物線が初速と加速度という二つの運動の合成であるために起こる現象です。
図 P-027_1
円周の軌跡を描く数式を、経過時間を変数(t)とする関数f(t) e＾i＾(v_θt) に変換する作業を⑤までの行程で見てきましたが、円周上を移動する点の速度を一定だと見なす根拠は上の図 P-027_1の下段で説明してある通りです。
これで事前準備は完了です。
ここから回転運動を表す関数f(t) e＾i＾(v_θt) のグラフを作成していきます。
図 P-027_2
図 P-027_3
時間のt 単位は円周を進む距離に合わせて、i の長さを移動するのにかかる経過時間をグラフ上では1に設定しています。
現実の時間を当てはめる場合には、グラフ上での単位時間に円周の1/4の長さを移動するのに要する時間を掛ければ実際の経過時間( t )を求めることができます。
P-027_3の2つのグラフは円軌道が描かれるx y平面を上からではなく横から見た図で、それぞれ上図がx軸を下図でy軸を縦軸にとり、横軸にはどちらも経過時間(t)をとっています。
横軸の上には経過時間で円周上を移動した距離を参考に載せています。
すでにお気づきでしょうが、上図がcosθと下図がsinθの三角関数のグラフと全く同じものになっています。
p-027
こうして視覚化した経過時間を変数(t)とする関数f(t) e＾i＾(v_θt) のグラフから、cosθはこの関数が描く軌道のx軸成分であり、sinθは円周上のy軸成分であることを読み取ることができるようになりました。
両者を合わせて座標をとれば、それが関数f(t) e＾i＾(v_θt) の円周の距離θ時点における座標ということになるわけです。(x座標：cosθ, y座標：sinθ)
ただし、一つ注意すべき点があります。
cosθとsinθをただ単純に足し合わせただけでは、中心点からその座標へのベクトルということになってしまい、円運動というこの関数が表していたもっとも重要な内容が失われるという現象が起きてしまうのです。
ですからオイラーの等式では正しいのはあくまで座標のみということになるので、安易な扱い、例えば右辺に置いた三角関数の式にτ/2を代入してその結果を左辺に移行したりとかですね、そういう行為は絶対に戒めるべきだと思います。
オイラーの等式は左辺が円運動の関数で、右辺が三角関数で求めた座標への0点からのベクトルとなっていますから、そもそも両辺の式はただ座標上の点が一致するだけの、異なった意味合いを持つ関数同士なわけです。
図 P-028_1
グラフの縦軸、横軸は通常の複素平面に合わせて横軸をRe縦軸をiとしていますが、これまで解説してきたグラフとの違いはありません。
左辺は回転の式ですから、数式に+1を付け足した場合、結果は下図のようになってしまうため、右辺が0になるなどということはこの関数の性質上、決してあり得ないことなのです。
p-028
