数学的に同型
高校の数I Iもしくは線形代数の知識を要する箇所があります。
概念の説明のため、数学的な厳密性は犠牲にしています。
かといって、わかりにくいのは著者の力のなさ故です。
地下鉄の路線図をみたことがあるかい？
縦に斜めに真っ直ぐに書いてある
地下鉄の路線図をみたことがあるかい？
本当の地図の配置からずれている
でも僕たちの頭の中では
実際の地図と路線図が一対一に対応している
そう僕たちの頭の中では
降りるべき駅が一義に決まる
路線図と地図は数学的に同型
ベクトル空間を知ってるかい？
方向と大きさを持つ矢印の集まり
ベクトル空間を知っているかい？
基底の選び方によって形が変わる
でも僕たちの頭の中では
線形写像でベクトルを移動させる
そう僕たちの頭の中では
次元が同じなら同型になる
写像前後のベクトルは数学的に同型
行列を知ってるかい？
数や記号を格子状に並べたもの
行列を知ってるかい？
加法や乗法の規則があるもの
でも僕たちの頭の中では
行列はベクトルの方向や距離を変換する
そう僕たちの頭の中では
行列はベクトルの写像をあらわす
行列がつくる数学的な同型
トポロジーを知ってるかい？
真ん中にあなの空いたドーナッツ
トポロジーを知ってるかい？
取手に指をいれるティーカップ
でも僕たちの頭の中では
ドーナッツの端面を引っ張って凹ますか
そう僕たちの頭の中では
カップを平にして取手の端にしまえば
ドーナッツとティーカップは数学的に同型
メルカトル図法を知ってるかい？
僕たちがよくみる世界地図
メルカトル図法を知ってるかい？
地表面を二次元にした世界地図
でも僕たちの頭の中では
地球は球体であることを補正する
そう僕たちの頭の中では
高緯度の国ほど補正する
世界地図と地球は数学的に同型
詩を描いたことあるかい？
自分の気持ちをリアルに描いた詩
物語を描いたことあるかい？
何かの本質をつくような物語
でも僕たちの頭の中では
紙の世界に詩や物語を描く
そう僕たちの頭の中では
心を揺さぶる何かが描かれる
思考と言葉は文学的に同型
ある体験や想像を文字にする魔法
それは文学的に同型
そして数学的に同型かも知れない
お読みいただきありがとうございます。
以下、注釈です。
＊数学的に「同型」とは、異なる二つの数学的対象が「本質的に同じ」であると見なせるときに使われる概念です。
決められた規則に従って対象を変換させたとき、変換の前後が一対一に定まり、かつ、変換後の対象が変換前の対象と互いに対応する演算に従うというものです。
＊変換の規則を写像といい、写像には、例えば、行列や関数があります。ベクトルに行列をかけると別のベクトルになる、変数xは関数y=f(x)に従って変数yに変換される、などです。ベクトルや変数をもとに戻す操作もあります。
＊写像による変換前の対象のうち二つA,Bがそれぞれ変換された後の対象をC,Dとすると、例えば、変換前の演算A+Bは、変換後にC+Dとなります。
＊メルカトル図法では緯度により距離が拡大縮小することを考慮して移動距離を、東西南北で移動方向を指定すれば、地球儀と同じ移動をすると思いました。ただし、メルカトル図法は二次元、地球儀は三次元なので、少し粗い例えかも知れません。
＊路線図も皆さんが正しく頭で変換してくれることを前提としています。
＊文学的に同型とは、本作の造語です。
以下は、より専門的内容です。
＊定常状態の拡散方程式と熱伝導方程式は同型です。定常状態とは物理量の時間変化が収まり平衡になった状態です。粒子の濃度を温度に、粒子の流れを熱の流れ、と対応することで、濃度分布と温度分布は、同一の微分方程式を充します。これは、粒子も熱エネルギーも保存するためです。定常状態では、ある場所にやってきた粒子やエネルギーの流れとその場所から出ていく流れが同じであるためです。同じでない場合、その場所の粒子やエネルギーは増えるか減るしてる最中で定常にはなりません。定常でない場合、拡散と熱に特有の効果を考慮する必要があり、同型にはなりたせん。
